解説

方針・初手

底にも指数にも $x$ が含まれているので、そのまま微分するよりも対数微分法を用いるのが自然である。

$x>0$ であるから $\sqrt{x}>0$ となり、$\log y$ をとることができる。

解法1

与えられた関数は

$$ y=(\sqrt{x})^x $$

である。

両辺の自然対数をとると、

$$ \log y=\log \left((\sqrt{x})^x\right)=x\log \sqrt{x} $$

となる。ここで

$$ \log \sqrt{x}=\log x^{1/2}=\frac{1}{2}\log x $$

であるから、

$$ \log y=\frac{x}{2}\log x $$

を得る。

これを $x$ で微分すると、

$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\log x+\frac{1}{2} $$

となる。したがって、

$$ \frac{dy}{dx}=y\left(\frac{1}{2}\log x+\frac{1}{2}\right) $$

であり、$y=(\sqrt{x})^x$ を代入して

$$ \frac{dy}{dx}=(\sqrt{x})^x\cdot \frac{\log x+1}{2} $$

となる。

解説

$(\sqrt{x})^x$ は、底も指数も変数を含む関数である。この形では対数をとると指数が前に下り、通常の積の微分に帰着できる。

また、$\sqrt{x}=x^{1/2}$ と直して

$$ (\sqrt{x})^x=x^{x/2} $$

と見てもよいが、この場合も結局は対数微分法が本質である。

答え

$$ y'=(\sqrt{x})^x\cdot \frac{\log x+1}{2} $$

または

$$ y'=x^{x/2}\cdot \frac{\log x+1}{2} $$