基礎問題集
数学3 微分法「微分の基本」の問題16 解説
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解説
方針・初手
外側は「底が $x$ の対数」であり、その中にさらに $\log x$ が入っている。
したがって、まず
$$ y=\log_x(\log x) $$
を変換公式で
$$ y=\frac{\log(\log x)}{\log x} $$
と直してから、商の微分法を用いるのが自然である。
解法1
変換公式
$$ \log_x A=\frac{\log A}{\log x} $$
より、
$$ y=\log_x(\log x)=\frac{\log(\log x)}{\log x} $$
である。
これを商の微分法で微分する。分子を
$$ u=\log(\log x) $$
分母を
$$ v=\log x $$
とおくと、
$$ y=\frac{u}{v} $$
である。
まず、連鎖律より
$$ u'=\frac{1}{\log x}\cdot \frac{1}{x} $$
であり、また
$$ v'=\frac{1}{x} $$
である。
したがって、
$$ \frac{dy}{dx} =\frac{u'v-uv'}{v^2} =\frac{\dfrac{1}{\log x}\cdot \dfrac{1}{x}\cdot \log x-\log(\log x)\cdot \dfrac{1}{x}}{(\log x)^2} $$
となるので、
$$ \frac{dy}{dx} =\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{\log(\log x)}{x}}{(\log x)^2} =\frac{1-\log(\log x)}{x(\log x)^2} $$
を得る。
解説
この問題では、問題文のまま連鎖律を当てるよりも、まず外側の対数を変換公式で
$$ \log_x(\log x)=\frac{\log(\log x)}{\log x} $$
と書き直すのが本筋である。
また、定義されるためには、底 $x$ が対数の底として適切であり、かつ真数 $\log x$ が正でなければならない。したがって
$$ x>1 $$
が必要である。
答え
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{1-\log(\log x)}{x(\log x)^2}\qquad (x>1) $$