解説

方針・初手

微分係数の定義

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

にそのまま $f(x)=\cos x$ を代入する。

そのうえで，加法定理 $\cos(a+h)=\cos a\cos h-\sin a\sin h$ を用いて極限を分けると， $\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1$ を使える形になる。

解法1

定義より，

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(a+h)-\cos a}{h} $$

である。

ここで加法定理を用いると，

$$ \cos(a+h)=\cos a\cos h-\sin a\sin h $$

だから，

$$ \begin{aligned} f'(a) &=\lim_{h\to 0}\frac{\cos a\cos h-\sin a\sin h-\cos a}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\cos a(\cos h-1)-\sin a\sin h}{h} \\ &=\cos a\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin a\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} \end{aligned} $$

となる。

後者は仮定より

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 $$

である。

前者については，

$$ \begin{aligned} \frac{\cos h-1}{h} &= \frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} \\ \frac{\cos^2 h-1}{h(\cos h+1)} \\ -\frac{\sin^2 h}{h(\cos h+1)} \end{aligned} $$

より，

$$ \begin{aligned} \frac{\cos h-1}{h} &= -\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{\sin h}{\cos h+1} \end{aligned} $$

と変形できる。

ここで $h\to 0$ のとき $\dfrac{\sin h}{h}\to 1$， $\sin h\to 0$， $\cos h+1\to 2$ であるから，

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 $$

である。

したがって，

$$ f'(a)=\cos a\cdot 0-\sin a\cdot 1=-\sin a $$

となる。

解説

この問題の要点は，定義に代入したあと，加法定理で $\dfrac{\sin h}{h}$ を含む形に直すことである。

また， $\dfrac{\cos h-1}{h}$ はそのままでは扱いにくいが， $\cos^2 h-1=-\sin^2 h$ を用いて変形すれば， 既知の極限 $\dfrac{\sin h}{h}$ を使って $0$ と示せる。

答え

$$ f'(a)=-\sin a $$