解説

方針・初手

$$ f(x)=\frac{\log x}{x} $$

とみると、$\log x$ を微分すると定数項が出て、$x^{-1}$ を微分すると分母の次数が 1 つ上がる。したがって、$n$ 回微分しても

$$ \frac{\text{定数}+\text{定数}\cdot \log x}{x^{n+1}} $$

という形が保たれると考えられる。

そこでまず、この形が実際に保たれることを示し、微分して係数比較を行うことで $a_n,b_n$ の漸化式を求める。その後、$b_n$ を先に解き、ついで $a_n$ を調和数

$$ h_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

を用いて求める。

解法1

まず

$$ f(x)=\frac{\log x}{x} $$

であるから、

$$ f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2} $$

となる。よって $n=1$ では

$$ f^{(1)}(x)=\frac{a_1+b_1\log x}{x^2} $$

の形で表され、具体的に

$$ a_1=1,\qquad b_1=-1 $$

である。

次に、ある $n\geqq 1$ について

$$ f^{(n)}(x)=\frac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}} $$

と表されると仮定する。これを微分すると、

$$ f^{(n+1)}(x) =\frac{d}{dx}\left((a_n+b_n\log x)x^{-(n+1)}\right) $$

$$ =\frac{b_n}{x}x^{-(n+1)}-(n+1)(a_n+b_n\log x)x^{-(n+2)} $$

$$ =\frac{b_n-(n+1)a_n-(n+1)b_n\log x}{x^{n+2}} $$

となる。したがって、$f^{(n+1)}(x)$ も同じ形

$$ f^{(n+1)}(x)=\frac{a_{n+1}+b_{n+1}\log x}{x^{n+2}} $$

で表され、その係数は

$$ a_{n+1}=b_n-(n+1)a_n,\qquad b_{n+1}=-(n+1)b_n $$

を満たす。

以上より、すべての $n=1,2,\dots$ に対して

$$ f^{(n)}(x)=\frac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}} $$

と表され、漸化式は

$$ a_{n+1}=b_n-(n+1)a_n,\qquad b_{n+1}=-(n+1)b_n $$

である。

次に一般項を求める。

まず $b_n$ については

$$ b_1=-1,\qquad b_{n+1}=-(n+1)b_n $$

より、

$$ b_n=(-1)^n n! $$

である。

つぎに $a_n$ を求める。上で得た $b_n=(-1)^n n!$ を

$$ a_{n+1}=b_n-(n+1)a_n $$

に代入すると、

$$ a_{n+1}=(-1)^n n!-(n+1)a_n $$

となる。ここで

$$ c_n=\frac{(-1)^{n-1}a_n}{n!} $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &=\frac{(-1)^n a_{n+1}}{(n+1)!} \\ &=\frac{(-1)^n\{(-1)^n n!-(n+1)a_n\}}{(n+1)!} \\ &=\frac{1}{n+1}+\frac{(-1)^{n-1}a_n}{n!} \\ &=\frac{1}{n+1}+c_n \end{aligned} $$

すなわち

$$ c_{n+1}=c_n+\frac{1}{n+1} $$

を得る。また $a_1=1$ より

$$ c_1=\frac{(-1)^0 a_1}{1!}=1 $$

である。したがって

$$ c_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=h_n $$

となる。ゆえに

$$ a_n=(-1)^{n-1}n!h_n $$

である。

以上より、

$$ a_n=(-1)^{n-1}n!h_n,\qquad b_n=(-1)^n n! $$

であり、

$$ f^{(n)}(x) =\frac{(-1)^{n-1}n!h_n+(-1)^n n!\log x}{x^{n+1}} $$

すなわち

$$ f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!(\log x-h_n)}{x^{n+1}} $$

と表される。

解説

この問題の要点は、微分を繰り返しても分子が「定数項と $\log x$ の一次式」のまま保たれることを見抜くことである。実際、$\log x$ を微分すると $\dfrac{1}{x}$ が出て定数項に吸収され、分母の $x^{n+1}$ を微分すると $\log x$ の係数に $-(n+1)$ が掛かるだけである。

したがって、まず形を保ったまま漸化式を立てるのが自然である。$b_n$ は階乗型で直ちに求まり、$a_n$ は符号と階乗を整理して新しい数列 $c_n$ を置くと、調和数 $h_n$ がそのまま現れる。

答え

**(1)**

$$ f^{(n)}(x)=\frac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}} \qquad (n=1,2,\dots) $$

と表され、$a_n,b_n$ は

$$ a_1=1,\quad b_1=-1 $$

$$ a_{n+1}=b_n-(n+1)a_n,\qquad b_{n+1}=-(n+1)b_n \qquad (n\geqq 1) $$

を満たす。

**(2)**

$$ b_n=(-1)^n n!,\qquad a_n=(-1)^{n-1}n!h_n $$

ただし

$$ h_n=\sum_{k=1}^n \frac1k $$

である。したがって

$$ f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!(\log x-h_n)}{x^{n+1}} $$

である。