解説

方針・初手

$x=\dfrac{\pi}{2}$ で区分的に定義された関数であるから、まず左側の式と右側の式の値を $x=\dfrac{\pi}{2}$ で比較して連続条件を立てる。

そのうえで、（1） で求めた $a$ を用い、左微分係数と右微分係数を別々に計算して一致するかを調べれば、微分可能性が判定できる。

解法1

**(1)**

$f(x)$ が $x=\dfrac{\pi}{2}$ で連続となる条件を求める。

$x \le \dfrac{\pi}{2}$ のとき

$$ f(x)=a\sin x+\cos x $$

であり、特に

$$ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=a\sin\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{2}=a $$

である。

一方、$x>\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$$ f(x)=x-\pi $$

であるから、右側からの極限は

$$ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0}f(x)=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0}(x-\pi)=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2} $$

となる。

したがって、$x=\dfrac{\pi}{2}$ で連続であるための条件は

$$ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0}f(x) $$

すなわち

$$ a=-\frac{\pi}{2} $$

である。

（2） （1） で求めた $a=-\dfrac{\pi}{2}$ のとき、$x=\dfrac{\pi}{2}$ で微分可能かを調べる。

左側では

$$ f(x)=a\sin x+\cos x $$

より、

$$ f'(x)=a\cos x-\sin x $$

である。したがって左微分係数は

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0}f'(x) &= a\cos\dfrac{\pi}{2}-\sin\dfrac{\pi}{2} \\ 0-1 \\ -1 \end{aligned} $$

となる。

右側では

$$ f(x)=x-\pi $$

であるから、右微分係数は

$$ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0}f'(x)=1 $$

である。

よって

$$ -1 \ne 1 $$

であり、左微分係数と右微分係数が一致しないので、$x=\dfrac{\pi}{2}$ で $f(x)$ は微分可能でない。

解説

連続性は「左右から近づいたときの値が一致するか」で判定し、微分可能性は「左右の微分係数が一致するか」で判定する。

この問題では、まず連続条件から $a$ が一意に定まり、その値を代入して左右の傾きを比べるのが基本方針である。連続であっても左右の傾きが異なれば微分可能ではないことが、この問題の要点である。

答え

**(1)**

$$ a=-\frac{\pi}{2} $$

**(2)**

$a=-\dfrac{\pi}{2}$ のとき、$x=\dfrac{\pi}{2}$ における左微分係数は $-1$、右微分係数は $1$ で一致しない。したがって、$f(x)$ は $x=\dfrac{\pi}{2}$ で微分可能でない。