解説

方針・初手

この級数は各項が

$$ (\cos x)^{n-1}-(\cos x)^{n+k-1} $$

という形をしているので，部分和をとると大きく消し合う。まず部分和を明示して収束条件を調べれば，$k$ の条件がすぐに分かる。

そのうえで，和 $f(x)$ は $x\neq 2m\pi$ では等比数列の和として具体式で書けるから，$x\to 0$ の極限と $f(0)$ を比較すれば不連続性が示せる。

解法1

$c=\cos x$ とおく。部分和

$$ S_N=\sum_{n=1}^N \left(c^{n-1}-c^{n+k-1}\right) $$

を考えると，

$$ \begin{aligned} S_N &=(1+c+\cdots+c^{N-1})-(c^k+c^{k+1}+\cdots+c^{N+k-1}) \\ &=(1+c+\cdots+c^{k-1})-(c^N+c^{N+1}+\cdots+c^{N+k-1}) \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ S_N=\sum_{j=0}^{k-1}c^j-\sum_{j=0}^{k-1}c^{N+j} $$

である。

（1） $k$ の条件

まず $|c|<1$，すなわち $-1<\cos x<1$ のときは $c^{N+j}\to 0$ だから，

$$ S_N\to 1+c+\cdots+c^{k-1} $$

となり，級数は収束する。

次に問題になるのは $|c|=1$ の場合である。

**(i)**

$c=1$，すなわち $x=2m\pi$ のとき

$$ c^{n-1}-c^{n+k-1}=1-1=0 $$

であるから，級数は自明に収束する。

**(ii)**

$c=-1$，すなわち $x=(2m+1)\pi$ のとき

$$ c^{n-1}-c^{n+k-1}=(-1)^{n-1}-(-1)^{n+k-1} = (-1)^{n-1}{1-(-1)^k} $$

となる。

ここで，

• $k$ が偶数なら $(-1)^k=1$ なので各項はすべて $0$ となり，級数は収束する。
• $k$ が奇数なら $(-1)^k=-1$ なので各項は $2(-1)^{n-1}$ となり，一般項が $0$ に収束しないから級数は発散する。

したがって，この級数がすべての実数 $x$ に対して収束するための必要十分条件は

$$ k\text{ は偶数} $$

である。

（2） $f(x)$ は $x=0$ で連続でないこと

以後，（1） より $k$ は偶数とする。このとき級数の和を $f(x)$ とおく。

$x=0$ のときは $\cos 0=1$ だから各項はすべて $0$ となり，

$$ f(0)=0 $$

である。

一方，$x\neq 2m\pi$ なら $\cos x\neq 1$ なので，上の部分和の極限から

$$ f(x)=1+\cos x+(\cos x)^2+\cdots+(\cos x)^{k-1} $$

と書ける。したがって $x\neq 2m\pi$ では

$$ f(x)=\frac{1-(\cos x)^k}{1-\cos x} $$

でもある。

ここで $x\to 0$ とすると $\cos x\to 1$ であるから，

$$ \lim_{x\to 0,\ x\neq 0} f(x) =\lim_{x\to 0}{1+\cos x+\cdots+(\cos x)^{k-1}} =1+1+\cdots+1 =k $$

となる。$k$ は自然数なので $k\neq 0$ である。よって

$$ \lim_{x\to 0}f(x)=k\neq 0=f(0) $$

であり，$f(x)$ は $x=0$ で連続でない。

解説

この問題の要点は，級数を無理に一般項から判定するのではなく，まず部分和を書いて「どこまで消し合うか」を見ることである。すると本質は $\cos x=\pm 1$ の扱いに集約される。

特に $\cos x=-1$ のとき，$k$ の偶奇によって各項が常に $0$ になるか，あるいは $2,-2,2,-2,\dots$ となってしまうかが決まる。ここが （1） の核心である。

また （2） では，$x=0$ そのものでは各項がすべて $0$ なのに，$x\neq 0$ では和が

$$ 1+\cos x+\cdots+(\cos x)^{k-1} $$

となり，$x\to 0$ で $k$ に近づく。この「点での値」と「近づいたときの値」のずれが不連続性の原因である。

答え

**(1)**

級数がすべての実数 $x$ に対して収束するための必要十分条件は

$$ k\text{ が偶数} $$

である。

**(2)**

そのとき級数の和 $f(x)$ は

$$ f(0)=0, \qquad x\neq 2m\pi \text{ では } f(x)=1+\cos x+\cdots+(\cos x)^{k-1} $$

であり，

$$ \lim_{x\to 0}f(x)=k\neq 0=f(0) $$

だから，$f(x)$ は $x=0$ で連続でない。