解説

方針・初手

$f(x)$ がすべての $x$ で微分可能であるためには、つなぎ目である $x=-1,\ 1$ において

• 連続であること
• 左右の微分係数が一致すること

が必要である。したがって、$x=-1,\ 1$ で連続条件と微分条件を立てればよい。

解法1

まず $x=-1$ での条件を考える。

左側の式は $x-1$ であるから、

$$ f(-1)=-1-1=-2 $$

である。よって連続条件より

$$ a(-1)^2+b(-1)+c=-2 $$

すなわち

$$ a-b+c=-2 \qquad \cdots (1) $$

を得る。

次に微分可能であるため、左側の導関数 $1$ と、中の式 $ax^2+bx+c$ の導関数 $2ax+b$ を $x=-1$ で一致させる。

$$ 2a(-1)+b=1 $$

すなわち

$$ -2a+b=1 \qquad \cdots (2) $$

を得る。

次に $x=1$ での条件を考える。

右側の式は $d-2x$ であるから、$x=1$ における値は

$$ d-2 $$

である。したがって連続条件より

$$ a(1)^2+b(1)+c=d-2 $$

すなわち

$$ a+b+c=d-2 \qquad \cdots (3) $$

を得る。

さらに微分可能であるため、中の式の導関数 $2ax+b$ と右側の導関数 $-2$ が $x=1$ で一致する。

$$ 2a+b=-2 \qquad \cdots (4) $$

ここで、(2), (4) を連立して $a,\ b$ を求める。

$$ \begin{aligned} -2a+b&=1\\ 2a+b&=-2 \end{aligned} $$

両式を引くと

$$ 4a=-3 $$

より

$$ a=-\frac{3}{4} $$

である。

これを (4) に代入すると

$$ 2\left(-\frac34\right)+b=-2 $$

より

$$ -\frac32+b=-2 $$

したがって

$$ b=-\frac12 $$

である。

さらに (1) に代入すると

$$ -\frac34-\left(-\frac12\right)+c=-2 $$

すなわち

$$ -\frac14+c=-2 $$

より

$$ c=-\frac74 $$

となる。

これを (3) に代入すると

$$ -\frac34-\frac12-\frac74=d-2 $$

左辺は

$$ -\frac34-\frac24-\frac74=-\frac{12}{4}=-3 $$

であるから

$$ -3=d-2 $$

よって

$$ d=-1 $$

となる。

解説

この問題では、区分的に定義された関数が「微分可能」であることから、境界点で連続条件と微分条件をそれぞれ立てるのが基本である。

特に、微分可能なら連続でもあるので、先に関数値の一致を確認し、その後で左右の導関数の一致を用いる流れが自然である。未知数は $a,b,c,d$ の4個であり、$x=-1,\ 1$ から連続条件2本、微分条件2本の計4本の式が得られるので、ちょうど決定できる。

答え

$$ \text{[ア]}=-\frac34,\qquad \text{[イ]}=-1 $$