解説

方針・初手

与えられた微分方程式

$$ f''(x)=-2f'(x)-2f(x) $$

は、そのままでは扱いにくいので、$F(x)=e^x f(x)$ とおいて形を整える。

すると $f(x)=e^{-x}F(x)$ と書けるから、$f',f''$ を $F$ で表して代入すれば、より基本的な微分方程式に帰着できる。

その後、$F''(x)=-F(x)$ を満たす関数について

$$ {F'(x)}^2+{F(x)}^2 $$

の微分を調べれば、定数になることが分かる。これにより $F$ が有界であることが分かり、$f(x)=e^{-x}F(x)$ の極限が求まる。

解法1

**(1)**

$F(x)=e^x f(x)$ とおくと、

$$ f(x)=e^{-x}F(x) $$

であるから、

$$ f'(x)=e^{-x}{F'(x)-F(x)} $$

さらにもう一度微分して、

$$ f''(x)=e^{-x}{F''(x)-2F'(x)+F(x)} $$

となる。

これを与えられた関係式

$$ f''(x)=-2f'(x)-2f(x) $$

に代入すると、

$$ e^{-x}{F''(x)-2F'(x)+F(x)} =-2e^{-x}{F'(x)-F(x)}-2e^{-x}F(x) $$

両辺を $e^{-x}$ で割ると、

$$ F''(x)-2F'(x)+F(x)=-2F'(x)+2F(x)-2F(x)=-2F'(x) $$

したがって、

$$ F''(x)+F(x)=0 $$

すなわち

$$ F''(x)=-F(x) $$

が成り立つ。

**(2)**

いま $F''(x)=-F(x)$ を満たすとする。

関数

$$ G(x)={F'(x)}^2+{F(x)}^2 $$

を考えると、

$$ G'(x)=2F'(x)F''(x)+2F(x)F'(x) $$

であるから、$F''(x)=-F(x)$ を用いて

$$ G'(x)=2F'(x)(-F(x))+2F(x)F'(x)=0 $$

となる。

よって $G(x)$ は定数であり、

$$ {F'(x)}^2+{F(x)}^2=\text{定数} $$

が示された。

ここで、その定数を $C$ とおくと、

$$ {F(x)}^2\le C $$

より

$$ |F(x)|\le \sqrt{C} $$

となる。したがって $F(x)$ は有界である。

一方、

$$ f(x)=e^{-x}F(x) $$

であるから、

$$ |f(x)|=e^{-x}|F(x)|\le \sqrt{C}e^{-x} $$

を得る。$x\to\infty$ のとき $e^{-x}\to 0$ であるので、はさみうちの原理により

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$f$ にかかっている一次の微分項を $F(x)=e^x f(x)$ という置き換えで消し、$F''=-F$ という標準形に持ち込むことである。

また、$F''=-F$ に対しては、${F'(x)}^2+{F(x)}^2$ を微分すると $0$ になる。これは三角関数の満たす関係に対応する典型的な保存量であり、この量が一定であることから $F$ の有界性が分かる。極限計算では、この有界性と $e^{-x}\to 0$ を組み合わせるのが本質である。

答え

**(1)**

$F(x)=e^x f(x)$ とおくと、

$$ F''(x)=-F(x) $$

が成り立つ。

**(2)**

$F''(x)=-F(x)$ を満たす関数 $F(x)$ について、

$$ {F'(x)}^2+{F(x)}^2 $$

は定数である。

したがって $F(x)$ は有界であり、

$$ f(x)=e^{-x}F(x) $$

より

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $$

である。