基礎問題集
数学3 微分法「微分の基本」の問題25 解説
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解説
方針・初手
$x=0$ で連続にするには、
$$ \lim_{x\to 0} f(x)=f(0) $$
が成り立てばよい。したがって、まず
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2} $$
を求め、その値を $A$ と一致させる。
解法1
$x\ne 0$ のとき
$$ f(x)=\frac{\cos x-1}{x^2} $$
であるから、$x=0$ で連続となる条件は
$$ A=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2} $$
である。
ここで
$$ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2} $$
を用いると、
$$ \begin{aligned} \frac{\cos x-1}{x^2} &= -\frac{1-\cos x}{x^2} \\ -\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} \end{aligned} $$
となる。さらに $x=2\cdot \dfrac{x}{2}$ より、
$$ \begin{aligned} -\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} &= -\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{4\left(\frac{x}{2}\right)^2} \\ -\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 \end{aligned} $$
である。
したがって、$\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ を用いれば、
$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2} &= -\frac{1}{2}\cdot 1^2 \\ -\frac{1}{2} \end{aligned} $$
となる。
よって、$x=0$ で連続となるような定数 $A$ は
$$ A=-\frac{1}{2} $$
である。
解説
この問題は、$x=0$ での連続条件をそのまま極限に直すのが基本である。あとは
$$ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2} $$
を使って、既知の極限
$$ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 $$
に持ち込めるかがポイントである。
答え
$$ A=-\frac{1}{2} $$