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数学3 微分法「微分の基本」の問題26 解説

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数学3微分法微分の基本問題26

解説

$x^3$ と $\sqrt{1+x^2}$ の積であるから、積の微分法を用いる。

また、$\sqrt{1+x^2}=(1+x^2)^{1/2}$ とみて連鎖律を使えばよい。

$$ y=x^3\sqrt{1+x^2}=x^3(1+x^2)^{1/2} $$

より、積の微分法を用いて

$$ y'=(x^3)'(1+x^2)^{1/2}+x^3\left\{(1+x^2)^{1/2}\right\}' $$

となる。

ここで

$$ (x^3)'=3x^2 $$

また、連鎖律により

$$ \left\{(1+x^2)^{1/2}\right\}' =\frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

である。

したがって

$$ y'=3x^2\sqrt{1+x^2}+x^3\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

となる。これを通分すると

$$ y'=\frac{3x^2(1+x^2)+x^4}{\sqrt{1+x^2}} $$

よって

$$ y'=\frac{3x^2+4x^4}{\sqrt{1+x^2}} =\frac{x^2(3+4x^2)}{\sqrt{1+x^2}} $$

である。

この問題の要点は、積の微分法と合成関数の微分を正しく組み合わせることである。

$\sqrt{1+x^2}$ の微分で、外側の $\sqrt{\phantom{x}}$ だけでなく、内側の $1+x^2$ の微分として $2x$ を掛ける必要がある点が基本である。

$$ y'=\frac{x^2(3+4x^2)}{\sqrt{1+x^2}} $$

である。