解説

方針・初手

分子と分母がよく似た形であり、商の微分法を使うと整理しやすい。 特に、分子を $N=e^x-e^{-x}$、分母を $D=e^x+e^{-x}$ とおくと、$N'$ と $D'$ がそれぞれ入れ替わる形になり、計算が簡潔になる。

解法1

$$ N=e^x-e^{-x},\quad D=e^x+e^{-x} $$

とおくと、

$$ N'=e^x+e^{-x},\quad D'=e^x-e^{-x} $$

である。

したがって、商の微分法より

$$ y'=\frac{N'D-ND'}{D^2} =\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} $$

となる。

分子は平方の差であるから、

$$ \begin{aligned} (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 &=\{(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})\}\{(e^x+e^{-x})+(e^x-e^{-x})\} \\ &=(2e^{-x})(2e^x) \\ &=4 \end{aligned} $$

よって、

$$ y'=\frac{4}{(e^x+e^{-x})^2} $$

である。

解法2

分子・分母に $e^x$ を掛けると、

$$ y=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} $$

と変形できる。

ここで、

$$ u=e^{2x}-1,\quad v=e^{2x}+1 $$

とおけば、

$$ u'=2e^{2x},\quad v'=2e^{2x} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} y' &=\frac{u'v-uv'}{v^2} \\ &=\frac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-(e^{2x}-1)2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} \\ &=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} \end{aligned} $$

となる。

これは

$$ \frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} =\frac{4}{(e^x+e^{-x})^2} $$

であり、解法1の結果と一致する。

解説

この問題の要点は、商の微分法を正確に使うことである。 とくに $e^{-x}$ の微分が $-e^{-x}$ であるため、

$$ \frac{d}{dx}(e^x-e^{-x})=e^x+e^{-x} $$

となる点を取り違えないことが重要である。

また、分母と分子の形が対称的なので、そのまま微分して整理してもよいし、先に $e^{2x}$ を用いる形に変形してから計算してもよい。どちらも典型的な処理である。

答え

$$ y'=\frac{4}{(e^x+e^{-x})^2} $$

または同値な形として

$$ y'=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} $$