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数学3 微分法「微分の基本」の問題28 解説

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数学3微分法微分の基本問題28

解説

指数の肩に $x$ を含む式であるから、$a^{u(x)}$ の微分公式

$$ \frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\log a \cdot u'(x) $$

を用いる。ここでは $a=2$, $u(x)=\sin x$ とみればよい。

与えられた関数は

$$ y=2^{\sin x} $$

である。

ここで、$u=\sin x$ とおくと

$$ y=2^u $$

となるので、合成関数の微分法より

$$ \frac{dy}{dx}=2^u \log 2 \cdot \frac{du}{dx} $$

である。

さらに

$$ \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x $$

であるから、

$$ \frac{dy}{dx}=2^{\sin x}\log 2 \cdot \cos x $$

となる。

底が定数で指数が関数になっている形では、$a^x$ の微分公式をそのまま使うのではなく、肩の部分を $u(x)$ とみて合成関数として処理するのが基本である。

この問題では、外側が $2^u$、内側が $\sin x$ であるから、外側を微分して $\log 2$ を出し、最後に内側の微分 $\cos x$ を掛ければよい。

$$ y'=2^{\sin x}\log 2 \cos x $$