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数学3 微分法「微分の基本」の問題29 解説

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数学3微分法微分の基本問題29

解説

合成関数 $y=\log(\log x)$ であるから、外側の $\log$ を微分し、そのあと内側の $\log x$ を微分する。すなわち連鎖律を用いる。

なお、$y=\log(\log x)$ が定義されるためには $\log x>0$、すなわち $x>1$ が必要である。

$u=\log x$ とおくと、

$$ y=\log u $$

であるから、連鎖律より

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} $$

となる。

ここで

$$ \frac{dy}{du}=\frac{1}{u},\qquad \frac{du}{dx}=\frac{1}{x} $$

であるから、

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{x} $$

である。ここで $u=\log x$ を戻せば、

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{x\log x} $$

を得る。

この問題の要点は、$\log(\log x)$ を1つの式として見るのではなく、外側と内側に分けて連鎖律を使うことである。

また、$\log x$ がさらに $\log$ の中に入っているので、定義域は $x>0$ では足りず、$\log x>0$ すなわち $x>1$ まで確認する必要がある。

$$ y'=\frac{1}{x\log x}\qquad (x>1) $$