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数学3 微分法「微分の基本」の問題30 解説

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数学3微分法微分の基本問題30

解説

$(\sin x+\cos x)e^x$ は三角関数と指数関数の積であるから、積の微分法を用いる。

まず $y'$ を求め、その後もう一度微分して $y''$ を求める。

与えられた関数は

$$ y=(\sin x+\cos x)e^x $$

である。

まず第1次導関数を求める。積の微分法より、

$$ y'=(\sin x+\cos x)'e^x+(\sin x+\cos x)(e^x)' $$

ここで

$$ (\sin x+\cos x)'=\cos x-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x $$

であるから、

$$ \begin{aligned} y' &=(\cos x-\sin x)e^x+(\sin x+\cos x)e^x \\ &=\{(\cos x-\sin x)+(\sin x+\cos x)\}e^x \\ &=2\cos x\,e^x \end{aligned} $$

次にこれをさらに微分する。

$$ y''=(2\cos x\,e^x)' $$

再び積の微分法より、

$$ \begin{aligned} y'' &=(2\cos x)'e^x+(2\cos x)(e^x)' \\ &=(-2\sin x)e^x+2\cos x\,e^x \\ &=2(\cos x-\sin x)e^x \end{aligned} $$

よって求める第2次導関数は

$$ y''=2(\cos x-\sin x)e^x $$

である。

この問題の要点は、積の微分法を正確に2回使うことである。

最初に $y'$ を整理すると $2\cos x\,e^x$ となり、2回目の微分がかなり簡単になる。途中で $e^x$ をくくって整理するのが計算を見やすくするコツである。

$$ y''=2(\cos x-\sin x)e^x $$