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数学3 微分法「微分の基本」の問題31 解説

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数学3微分法微分の基本問題31

解説

$y=e^{-x}\sin x$ を2回微分し，$y,y',y''$ の関係式を直接作ればよい。

まず1回微分すると，

$$ y'=(e^{-x})'\sin x+e^{-x}(\sin x)' =-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x =e^{-x}(\cos x-\sin x) $$

さらにもう1回微分すると，

$$ y''=(-e^{-x})(\cos x-\sin x)+e^{-x}(-\sin x-\cos x) $$

したがって，

$$ y''=e^{-x}{-(\cos x-\sin x)-\sin x-\cos x} =-2e^{-x}\cos x $$

ここで，

$$ 2y'=2e^{-x}(\cos x-\sin x),\qquad 2y=2e^{-x}\sin x $$

であるから，

$$ y''+2y'+2y =-2e^{-x}\cos x+2e^{-x}(\cos x-\sin x)+2e^{-x}\sin x =0 $$

よって，

$$ y''+2y'+2y=0 $$

となる。

この種の問題は，まず素直に2回微分してから，$y$ と $y'$ を使って整理するのが基本である。

$e^{-x}\sin x$ は微分しても $e^{-x}\sin x,\ e^{-x}\cos x$ の形のままなので，2階線形微分方程式にまとめやすい。

$$ \boxed{\text{[ア]}=2,\ \text{[イ]}=2} $$