解説

方針・初手

$f(x)=x^{\frac13}$ の導関数を、問題文で指定された3通りの方法で求める問題である。

この関数は

$$ \bigl(f(x)\bigr)^3=x $$

を満たすので、逆関数として見る方法、恒等式を微分する方法、定義に戻る方法のいずれでも処理できる。特に $x>0$ であることから、$x^{\frac13},x^{\frac23}$ が自然に扱え、逆関数の微分法や極限計算も支障なく行える。

解法1

（1） 逆関数の微分法を用いる方法

$f(x)=x^{\frac13}$ は $g(x)=x^3$ の逆関数である。

逆関数の微分法の公式より、

$$ f'(x)=\frac{1}{g'(f(x))} $$

である。

ここで

$$ g'(x)=3x^2 $$

だから、

$$ g'(f(x))=3\bigl(f(x)\bigr)^2 $$

となる。したがって、

$$ f'(x)=\frac{1}{3\bigl(f(x)\bigr)^2} $$

である。

さらに $f(x)=x^{\frac13}$ を代入すると、

$$ f'(x)=\frac{1}{3\left(x^{\frac13}\right)^2} =\frac{1}{3x^{\frac23}} $$

を得る。

**(2)**

$\bigl(f(x)\bigr)^3=x$ を微分する方法

問題文より

$$ f(x)\cdot f(x)\cdot f(x)=x $$

である。

両辺を $x$ で微分する。左辺は3つの関数の積であるから、積の微分法より

$$ f'(x)f(x)f(x)+f(x)f'(x)f(x)+f(x)f(x)f'(x)=1 $$

となる。

左辺をまとめると、

$$ 3\bigl(f(x)\bigr)^2f'(x)=1 $$

である。よって、

$$ f'(x)=\frac{1}{3\bigl(f(x)\bigr)^2} $$

となり、$f(x)=x^{\frac13}$ を用いれば

$$ f'(x)=\frac{1}{3x^{\frac23}} $$

を得る。

（3） 微分係数の定義から求める方法

定義より、

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{\frac13}-x^{\frac13}}{h} $$

である。

ここで

$$ a=(x+h)^{\frac13},\quad b=x^{\frac13} $$

とおくと、

$$ a^3-b^3=h $$

である。また、

$$ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} $$

より、

$$ \begin{aligned} (x+h)^{\frac13}-x^{\frac13} &= \frac{h}{(x+h)^{\frac23}+(x+h)^{\frac13}x^{\frac13}+x^{\frac23}} \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{(x+h)^{\frac13}-x^{\frac13}}{h} &= \frac{1}{(x+h)^{\frac23}+(x+h)^{\frac13}x^{\frac13}+x^{\frac23}} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0} \frac{1}{(x+h)^{\frac23}+(x+h)^{\frac13}x^{\frac13}+x^{\frac23}} \end{aligned} $$

となり、$h\to0$ とすると

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{x^{\frac23}+x^{\frac23}+x^{\frac23}} \\ \frac{1}{3x^{\frac23}} \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、$x^{\frac13}$ をそのまま微分するのでなく、

$$ \bigl(f(x)\bigr)^3=x $$

という関係をどう使うかにある。

（1） は逆関数の微分法の確認であり、$x^{\frac13}$ を $x^3$ の逆関数として見る発想が重要である。

（2） は公式に頼らず、恒等式を微分して導関数を求める典型手法である。積の微分法を3回分使うと、同じ項が3つ現れる。

（3） は定義に忠実な方法であり、立方根の差を

$$ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} $$

で変形するのが核心である。平方根のときの有理化と同様に、立方根ではこの恒等式を使う。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=\frac{1}{3x^{\frac23}} $$

**(2)**

$$ f'(x)=\frac{1}{3x^{\frac23}} $$

**(3)**

$$ f'(x)=\frac{1}{3x^{\frac23}} $$