解説

方針・初手

まず根号内を

$$ x^2-2x+2=(x-1)^2+1 $$

と変形する。すると

$$ f(x)=\sqrt{1+(x-1)^2} $$

となり、$x=1$ のまわりでの挙動が見やすくなる。差商は有理化で処理でき、近似式の係数は $f(1),,f'(1)$ および二次までの係数比較で求める。

解法1

**(1)**

$f(1)=1$ であるから、微分係数は定義より

$$ f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{1+(x-1)^2}-1}{x-1} $$

である。ここで分子を有理化すると

$$ \frac{\sqrt{1+(x-1)^2}-1}{x-1} =\frac{(1+(x-1)^2)-1}{(x-1)\left(\sqrt{1+(x-1)^2}+1\right)} =\frac{x-1}{\sqrt{1+(x-1)^2}+1} $$

となる。したがって

$$ f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{\sqrt{1+(x-1)^2}+1}=0 $$

である。

**(2)**

求める極限は

$$ \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1} $$

であり、これは （1） で計算した微分係数そのものである。よって

$$ \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}=0 $$

である。

**(3)**

$x=1$ の近くでの一次近似は

$$ f(x)\fallingdotseq f(1)+f'(1)(x-1) $$

で与えられる。（1） より $f(1)=1,\ f'(1)=0$ であるから

$$ f(x)\fallingdotseq 1 $$

となる。したがって

$$ a=1,\quad b=0 $$

である。

**(4)**

$h=x-1$ とおき、二次近似を

$$ f(x)\fallingdotseq A+Bh+Ch^2 $$

とする。（3） より一次までの係数は

$$ A=1,\quad B=0 $$

である。

一方、

$$ f(x)=\sqrt{1+h^2} $$

であるから、両辺を二乗して二次の項までを比べると

$$ 1+h^2 \fallingdotseq (A+Bh+Ch^2)^2 $$

である。ここに $A=1,\ B=0$ を代入すると

$$ 1+h^2 \fallingdotseq (1+Ch^2)^2 \fallingdotseq 1+2Ch^2 $$

となる。よって二次の係数を比較して

$$ 2C=1 $$

すなわち

$$ C=\frac12 $$

である。

したがって

$$ A=1,\quad B=0,\quad C=\frac12 $$

であり、二次近似式は

$$ f(x)\fallingdotseq 1+\frac12(x-1)^2 $$

となる。

解説

この問題の要点は、根号内を $(x-1)^2+1$ と直して $x=1$ のまわりの形を見やすくすることである。すると、$x=1$ では一次の項が現れないので、接線の傾きは $0$ になる。

また、一次近似では $(x-1)$ の項が消えるため、より精密な近似を得るには二次の項まで取る必要がある。実際、この関数の変化は $x=1$ の近くでは $(x-1)^2$ の大きさで現れるので、二次近似が本質になる。

答え

$$ \begin{aligned} \mathbf{(1)}&\ f'(1)=0,\\ \mathbf{(2)}&\ \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}=0,\\ \mathbf{(3)}&\ a=1,\ b=0,\\ \mathbf{(4)}&\ A=1,\ B=0,\ C=\frac12. \end{aligned} $$