解説

方針・初手

$x=0$ における値、1階導関数、2階導関数を順に一致させればよい。

$f(x)$ は微分が容易であり、$g(x)$ はまず $x=0$ を代入して $a$ を決め、その後に $g'(0), g''(0)$ を計算して $c,b$ を定める。

解法1

まず

$$ f(x)=\cos x+1 $$

より、

$$ f(0)=\cos 0+1=2 $$

である。

一方、

$$ g(x)=\frac{a}{bx^2+cx+1} $$

であるから、

$$ g(0)=\frac{a}{1}=a $$

となる。条件 $f(0)=g(0)$ より、

$$ a=2 $$

を得る。

次に導関数を調べる。

$f(x)=\cos x+1$ だから、

$$ f'(x)=-\sin x $$

したがって、

$$ f'(0)=0 $$

である。

また、

$$ g(x)=a(bx^2+cx+1)^{-1} $$

とみると、

$$ g'(x)=-a\frac{2bx+c}{(bx^2+cx+1)^2} $$

である。よって、

$$ g'(0)=-ac $$

となる。条件 $f'(0)=g'(0)$ より、

$$ 0=-ac $$

である。すでに $a=2$ であるから、

$$ c=0 $$

を得る。

ここで $a=2,\ c=0$ を $g(x)$ に代入すると、

$$ g(x)=\frac{2}{bx^2+1} $$

となる。

次に2階導関数を調べる。

$$

f''(x)=-\cos x

$$

より、

$$

f''(0)=-1

$$

である。

一方、

$$

g'(x)=-\frac{4bx}{(bx^2+1)^2}

$$

であるから、これを微分してもよいが、$x=0$ における値だけ必要なので、$x=0$ 近くでの形を用いると簡単である。

$$

g(x)=\frac{2}{1+bx^2}=2(1+bx^2)^{-1}

$$

より、

$$

(1+bx^2)^{-1}=1-bx^2+\cdots

$$

したがって、

$$

g(x)=2-2bx^2+\cdots

$$

となるので、

$$

g''(0)=2!\cdot(-2b)=-4b

$$

である。

条件 $f''(0)=g''(0)$ より、

$$

-1=-4b

$$

したがって、

$$

b=\frac14

$$

となる。

以上より、

$$

a=2,\quad b=\frac14,\quad c=0

$$

である。

解法2

$g(x)$ を $x=0$ のまわりで展開して係数比較をしてもよい。

まず条件 $f(0)=g(0)$ から、

$$

a=2

$$

である。

したがって

$$

g(x)=\frac{2}{1+cx+bx^2}

$$

となる。

ここで

$$

\frac{1}{1+u}=1-u+u^2+\cdots

$$

を用い、$u=cx+bx^2$ とすると、

$$

\frac{1}{1+cx+bx^2}=1-(cx+bx^2)+(cx+bx^2)^2+\cdots

$$

であるから、$x^2$ の項まで取れば

$$

\frac{1}{1+cx+bx^2}=1-cx+(c^2-b)x^2+\cdots

$$

よって

$$

g(x)=2-2cx+2(c^2-b)x^2+\cdots

$$

となる。

一方、

$$

f(x)=\cos x+1=2-\frac{x^2}{2}+\cdots

$$

である。

$f'(0)=g'(0)$ であるためには $x$ の係数が一致しなければならないから、

$$

-2c=0

$$

より

$$

c=0

$$

である。

さらに $f''(0)=g''(0)$ であるためには $x^2$ の係数が一致しなければならない。$c=0$ を代入すると、

$$

g(x)=2-2bx^2+\cdots

$$

であり、$f(x)=2-\dfrac{x^2}{2}+\cdots$ だから、

$$

-2b=-\frac12

$$

したがって、

$$

b=\frac14

$$

である。

よって

$$

a=2,\quad b=\frac14,\quad c=0

$$

を得る。

解説

この問題は、$x=0$ における値・接線の傾き・曲がり方を一致させる問題である。

$g(x)$ は分数関数であるが、$x=0$ を代入するとすぐに $a$ が決まり、次に $g'(0)$ から $c$、最後に $g''(0)$ から $b$ が決まる。順に処理すれば計算は重くない。

また、$x=0$ の近くでの展開を使うと、値・1次の項・2次の項の比較として見ることもできる。微分計算を避けたい場合には有効な見方である。

答え

$$

a=2,\quad b=\frac14,\quad c=0

$$