解説

方針・初手

（1） は $f(x)=(x-1)^2Q(x)$ をそのまま微分し、$x-1$ をくくり出せばよい。

（2） は $g(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れることから、まず $g(1)=0$ が成り立つ。また （1） より、そのとき $g'(x)$ は $x-1$ で割り切れるので $g'(1)=0$ も成り立つ。これら2本の条件から $a,b$ を求める。

解法1

**(1)**

$f(x)=(x-1)^2Q(x)$ を微分すると、積の微分法より

$$ f'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x) $$

となる。

ここで右辺の共通因子 $x-1$ をくくると

$$ f'(x)=(x-1)\{2Q(x)+(x-1)Q'(x)\} $$

である。

$Q(x)$ は整式なので、$2Q(x)+(x-1)Q'(x)$ も整式である。したがって $f'(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。よって $f'(x)$ は $x-1$ で割り切れる。

**(2)**

$g(x)=ax^{n+1}+bx^n+1$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとする。

するとまず $x=1$ を代入して

$$ g(1)=a+b+1=0 $$

を得る。

次に、$g(x)$ は $(x-1)^2$ を因数にもつから、（1） より $g'(x)$ は $x-1$ で割り切れる。したがって

$$ g'(1)=0 $$

である。

$g'(x)$ を求めると

$$ g'(x)=a(n+1)x^n+bnx^{n-1} $$

だから、

$$ g'(1)=a(n+1)+bn=0 $$

を得る。

以上より、$a,b$ は

$$ \begin{cases} a+b+1=0 \\ (n+1)a+nb=0 \end{cases} $$

を満たす。

第1式から

$$ b=-1-a $$

であるから、これを第2式に代入すると

$$ (n+1)a+n(-1-a)=0 $$

すなわち

$$ a-n=0 $$

となるので

$$ a=n $$

である。

さらに

$$ b=-1-a=-1-n $$

より

$$ b=-(n+1) $$

を得る。

解説

この問題の要点は、$(x-1)^2$ を因数にもつということは、$x=1$ が重解であるという事実である。

重解をもつとき、微分した式もその解をもつ。ここでは （1） がその事実を具体的に示している。したがって （2） では

$$ g(1)=0,\quad g'(1)=0 $$

の2条件を立てれば十分である。

答え

**(1)**

$f'(x)$ は $x-1$ で割り切れる。

**(2)**

$$ a=n,\quad b=-(n+1) $$