解説

方針・初手

問1は基本極限

$$ \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1 $$

に帰着する。

問2は公比 $e^{1/n}$ の等比数列の和である。

問3は $e^{k/n}-e^{(k-1)/n}$ を因数分解して、問2と同様の等比数列の和に直してから極限をとる。なお、$p=-1$ のときは別扱いが必要である。

解法1

**問1**

まず $a=0$ のときは

$$ \frac{e^{ax}-1}{x}=\frac{e^0-1}{x}=0 $$

であるから、極限値は $0$ である。

次に $a\neq 0$ のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{e^{ax}-1}{x} &= a\frac{e^{ax}-1}{ax} \end{aligned} $$

と変形できる。ここで $x\to 0$ のとき $ax\to 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{e^{ax}-1}{x} &= a\lim_{x\to 0}\frac{e^{ax}-1}{ax} \\ a\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t} \\ a \end{aligned} $$

となる。

したがって、いずれの場合も極限値は $a$ である。

**問2**

公比を

$$ r=e^{1/n} $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n e^{k/n} &= \sum_{k=1}^n r^k \end{aligned} $$

である。これは等比数列の和なので、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n r^k &= \frac{r(r^n-1)}{r-1} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n e^{k/n} &= \frac{e^{1/n}(e-1)}{e^{1/n}-1} \end{aligned} $$

を得る。

**問3**

まず

$$ \begin{aligned} e^{k/n}-e^{(k-1)/n} &= e^{(k-1)/n}(e^{1/n}-1) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n e^{kp/n}\bigl(e^{k/n}-e^{(k-1)/n}\bigr) \\ \sum_{k=1}^n e^{kp/n}e^{(k-1)/n}(e^{1/n}-1) \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} S_n &= (1-e^{-1/n})\sum_{k=1}^n e^{(p+1)k/n} \end{aligned} $$

と書ける。

ここで $p=-1$ と $p\neq -1$ とで分ける。

**(1)**

$p\neq -1$ のとき

問2と同様に、公比 $e^{(p+1)/n}$ の等比数列の和を用いると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n e^{(p+1)k/n} &= \frac{e^{(p+1)/n}(e^{p+1}-1)}{e^{(p+1)/n}-1} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} S_n &= (1-e^{-1/n}) \frac{e^{(p+1)/n}(e^{p+1}-1)}{e^{(p+1)/n}-1} \end{aligned} $$

すなわち

$$ \begin{aligned} S_n &= e^{p/n}(e^{1/n}-1)\frac{e^{p+1}-1}{e^{(p+1)/n}-1} \end{aligned} $$

となる。

$n\to\infty$ のとき $e^{p/n}\to 1$ であり、さらに問1の結果を用いれば

$$ n\bigl(e^{1/n}-1\bigr)\to 1,\qquad n\bigl(e^{(p+1)/n}-1\bigr)\to p+1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &= \frac{e^{p+1}-1}{p+1} \end{aligned} $$

を得る。

**(2)**

$p=-1$ のとき

このとき

$$ e^{kp/n}=e^{-k/n} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} e^{-k/n}\bigl(e^{k/n}-e^{(k-1)/n}\bigr) &= 1-e^{-1/n} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n (1-e^{-1/n}) \\ n(1-e^{-1/n}) \end{aligned} $$

である。

ここで問1より

$$ n(1-e^{-1/n})\to 1 $$

なので、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=1 $$

となる。

解説

問1は指数関数の基本極限そのものである。$a$ がかかっていても、$ax$ を新しい変数とみれば処理できる。

問2は単純な等比数列の和である。指数が $k/n$ になっていても、公比が $e^{1/n}$ だと見抜けるかどうかが要点である。

問3は一見すると複雑であるが、差

$$ e^{k/n}-e^{(k-1)/n} $$

をそのままにせず、$e^{(k-1)/n}(e^{1/n}-1)$ と直すのが決定的である。すると全体が等比数列の和に帰着する。さらに $p=-1$ では公比が $1$ になって別扱いが必要になる点が詰まりやすい。

答え

**問1**

$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^{ax}-1}{x}=a $$

**問2**

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n e^{k/n} &= \frac{e^{1/n}(e-1)}{e^{1/n}-1} \end{aligned} $$

**問3**

$$ \lim_{n\to\infty}S_n = \begin{cases} \dfrac{e^{p+1}-1}{p+1} & (p\neq -1),\\[6pt] 1 & (p=-1). \end{cases} $$

なお、上の式は $p=-1$ のときも連続的に $1$ に一致する。