解説

方針・初手

分子・分母に多項式と $e^x$ が混在しているので、そのまま商の微分を行うよりも、対数微分法を用いるのが最も簡潔である。

まず $\log f(x)$ をとって $f'(x)/f(x)$ を求め、最後に $x=0$ を代入する。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\frac{(x+3)^3(x-5)^2}{(x+1)^2e^x} $$

である。

これを

$$ f(x)=(x+3)^3(x-5)^2(x+1)^{-2}e^{-x} $$

と見て、対数をとると

$$ \log f(x)=3\log(x+3)+2\log(x-5)-2\log(x+1)-x $$

となる。

両辺を微分して

$$ \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x-5}-\frac{2}{x+1}-1 $$

を得る。

したがって

$$ f'(x)=f(x)\left(\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x-5}-\frac{2}{x+1}-1\right) $$

である。

ここで $x=0$ を代入する。

まず

$$ f(0)=\frac{(0+3)^3(0-5)^2}{(0+1)^2e^0} =3^3\cdot 5^2 =27\cdot 25 =675 $$

また、

$$ \frac{3}{0+3}+\frac{2}{0-5}-\frac{2}{0+1}-1 =1-\frac{2}{5}-2-1 =-\frac{12}{5} $$

であるから、

$$ f'(0)=675\cdot \left(-\frac{12}{5}\right) =-1620 $$

となる。

解説

この問題は商の微分を直接使うと計算が煩雑になりやすいが、対数微分法を使えば、各因子の指数がそのまま係数として前に出てきて整理しやすい。

特に

$$ \frac{f'(x)}{f(x)} $$

の形に持ち込めば、最後は $f(0)$ と括弧内の値を別々に計算して掛ければよいので、計算ミスを減らしやすい。

答え

$$ f'(0)=-1620 $$