基礎問題集
数学3 微分法「微分の基本」の問題38 解説
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解説
方針・初手
まず
$$ f(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)^{x^2} $$
を指数法則で整理する。$x>0$ なので
$$ \sqrt[3]{x}=x^{1/3} $$
であり，
$$ f(x)=\left(x^{1/3}\right)^{x^2}=x^{x^2/3} $$
と書ける。あとは対数微分法で求めるのが自然である。
解法1
$f(x)=x^{x^2/3}$ とおく。
両辺の自然対数をとると，
$$ \log f(x)=\frac{x^2}{3}\log x $$
となる。これを微分すると，
$$ \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{3}\log x\right) =\frac{2x}{3}\log x+\frac{x^2}{3}\cdot\frac{1}{x} =\frac{2x}{3}\log x+\frac{x}{3} $$
よって，
$$ f'(x)=f(x)\left(\frac{2x}{3}\log x+\frac{x}{3}\right) $$
である。ここで $f(x)=x^{x^2/3}$ を戻せば，
$$ f'(x)=x^{x^2/3}\left(\frac{2x}{3}\log x+\frac{x}{3}\right) =x^{x^2/3}\cdot \frac{x}{3}(2\log x+1) $$
となる。
したがって，空欄 $[④]$ は
$$ \frac{x}{3}(2\log x+1) $$
である。
解説
この問題の要点は，まず $\left(\sqrt[3]{x}\right)^{x^2}$ を $x^{x^2/3}$ に直すことである。
底にも指数にも $x$ が含まれる形 $x^{g(x)}$ の微分は，そのままでは扱いにくいので，対数微分法を使うのが基本である。$x>0$ という条件は $\log x$ を用いるためにも重要である。
答え
$$ f'(x)=x^{x^2/3}\cdot \frac{x}{3}(2\log x+1) $$
したがって，
$$ [④]=\frac{x}{3}(2\log x+1) $$
である。