解説

方針・初手

$f(x)=e^{x^2}$ は合成関数であるから、まず連鎖律を用いて $f'(x)$ を求める。 その後は、求めた導関数を順に微分していけばよい。各段階で $e^{x^2}$ をくくると整理しやすい。

解法1

まず 1 次導関数を求める。

$$ f'(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}\right)=2x e^{x^2} $$

次にこれを微分して 2 次導関数を求める。積の微分法より、

$$ \begin{aligned} f''(x) &=\frac{d}{dx}\left(2x e^{x^2}\right) \\ &=2e^{x^2}+2x\cdot 2x e^{x^2} \\ &=(2+4x^2)e^{x^2} \end{aligned} $$

よって、

$$ f''(x)=(4x^2+2)e^{x^2} $$

である。

続いて 3 次導関数を求める。

$$ \begin{aligned} f^{(3)}(x) &=\frac{d}{dx}\left((4x^2+2)e^{x^2}\right) \\ &=8x e^{x^2}+(4x^2+2)\cdot 2x e^{x^2} \\ &=(8x+8x^3+4x)e^{x^2} \\ &=(8x^3+12x)e^{x^2} \end{aligned} $$

さらにこれを微分して 4 次導関数を求める。

$$ \begin{aligned} f^{(4)}(x) &=\frac{d}{dx}\left((8x^3+12x)e^{x^2}\right) \\ &=(24x^2+12)e^{x^2}+(8x^3+12x)\cdot 2x e^{x^2} \\ &=(24x^2+12+16x^4+24x^2)e^{x^2} \\ &=(16x^4+48x^2+12)e^{x^2} \end{aligned} $$

したがって、

$$ f^{(4)}(x)=(16x^4+48x^2+12)e^{x^2} $$

である。

解説

$e^{x^2}$ の微分では、外側の指数関数の微分と内側の $x^2$ の微分を合わせる連鎖律が基本になる。

また、高階導関数を求めるときは、毎回 $e^{x^2}$ を共通因子としてくくると、多項式部分だけを整理すればよくなり、計算ミスを減らしやすい。 この問題では、2 次導関数を出したあと、さらに 2 回微分するだけで 4 次導関数まで到達できる。

答え

$$ \boxed{[ケ]=4x^2+2} $$

$$ \boxed{[コ]=16x^4+48x^2+12} $$