解説

方針・初手

定義域は、対数の中身が正である条件を順に課せばよい。

また、微分は $\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}$ と直して処理すると確実である。

解法1

まず、関数

$$ f(x)=\log_a(1+\log_a x) $$

が定義されるためには、内側の対数 $\log_a x$ が定義されることと、外側の対数の真数 $1+\log_a x$ が正であることが必要である。

したがって条件は

$$ x>0,\qquad 1+\log_a x>0 $$

である。

後者は

$$ \log_a x>-1 $$

と同値であるが、$\log_a x$ の単調性は $a$ の範囲によって異なるので場合分けする。

**(i)**

$a>1$ のとき

$\log_a x$ は増加関数であるから、

$$ \log_a x>-1 \iff x>a^{-1} $$

となる。よって定義域は

$$ x>a^{-1} $$

である。

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

$\log_a x$ は減少関数であるから、

$$ \log_a x>-1 \iff x<a^{-1} $$

となる。もともと $x>0$ も必要なので、定義域は

$$ 0<x<a^{-1} $$

である。

次に微分係数を求める。

$$ f(x)=\log_a(1+\log_a x) =\frac{\ln(1+\log_a x)}{\ln a} $$

より、

$$ f'(x) =\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{1+\log_a x}\cdot \frac{d}{dx}(\log_a x) $$

である。さらに

$$ \frac{d}{dx}(\log_a x)=\frac{1}{x\ln a} $$

だから、

$$ f'(x)=\frac{1}{x(\ln a)^2(1+\log_a x)} $$

となる。

ここで $x=a$ を代入すると $\log_a a=1$ なので、

$$ f'(a)=\frac{1}{a(\ln a)^2(1+1)} =\frac{1}{2a(\ln a)^2} $$

である。

解説

定義域では、対数関数の「真数が正」という条件を外側と内側の両方に課すことが重要である。

特に $\log_a x>-1$ を $x$ の範囲に直すとき、$a>1$ では増加、$0<a<1$ では減少となるため、不等号の向きが変わる点が典型的な注意点である。

微分では、底が $a$ の対数を自然対数に直すと公式通りに処理できる。

答え

$$ \text{定義域}= \begin{cases} x>a^{-1} & (a>1), \\ 0<x<a^{-1} & (0<a<1) \end{cases} $$

$$ f'(a)=\frac{1}{2a(\ln a)^2} $$