解説

方針・初手

$\tan \pi x-1$ は、$x \to \dfrac14$ のとき $\tan \dfrac{\pi}{4}-1=0$ となるので、分子分母ともに $0$ に近づく形である。

したがって、$\tan A-\tan B$ の公式を用いて $\sin(A-B)$ の形に直し、基本極限

$$ \lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=1 $$

を使うのが自然である。

解法1

$1=\tan \dfrac{\pi}{4}$ であるから、

$$ \tan \pi x-1=\tan \pi x-\tan \frac{\pi}{4} $$

である。ここで、

$$ \tan A-\tan B=\frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B} $$

を用いると、

$$ \tan \pi x-\tan \frac{\pi}{4} =\frac{\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos \pi x \cos \frac{\pi}{4}} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \frac{\tan \pi x-1}{4x-1} &= \frac{\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos \pi x \cos \frac{\pi}{4}}\cdot \frac{1}{4x-1} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ 4x-1=\frac{4}{\pi}\left(\pi x-\frac{\pi}{4}\right) $$

だから、

$$ \begin{aligned} \frac{\tan \pi x-1}{4x-1} &= \frac{\pi}{4\cos \frac{\pi}{4}} \cdot \frac{\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{4}\right)}{\pi x-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{\cos \pi x} \end{aligned} $$

となる。

$x \to \dfrac14$ のとき、

$$ \frac{\sin\left(\pi x-\frac{\pi}{4}\right)}{\pi x-\frac{\pi}{4}} \to 1, \qquad \cos \pi x \to \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to \frac14}\frac{\tan \pi x-1}{4x-1} &= \frac{\pi}{4\cos \frac{\pi}{4}}\cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}} \end{aligned} $$

となる。さらに

$$ \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} $$

より、

$$ \begin{aligned} \frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2} &= \frac{\pi}{4}\cdot 2 \\ \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to \frac14}\frac{\tan \pi x-1}{4x-1} &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

である。

解法2

$f(x)=\tan \pi x$ とおくと、

$$ \begin{aligned} \frac{\tan \pi x-1}{4x-1} &= \frac{f(x)-f\left(\frac14\right)}{4\left(x-\frac14\right)} \\ \frac14 \cdot \frac{f(x)-f\left(\frac14\right)}{x-\frac14} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to \frac14}\frac{\tan \pi x-1}{4x-1} &= \frac14 f'\left(\frac14\right) \end{aligned} $$

となる。

$f'(x)=\pi \sec^2 \pi x$ だから、

$$ \begin{aligned} f'\left(\frac14\right) &= \pi \sec^2 \frac{\pi}{4} \\ \pi \cdot 2 \\ 2\pi \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to \frac14}\frac{\tan \pi x-1}{4x-1} &= \frac14 \cdot 2\pi \\ \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$\tan \pi x-1$ をそのまま扱うのではなく、

$$ 1=\tan \frac{\pi}{4} $$

と見て、$\tan A-\tan B$ の形に直すことである。すると $\sin(A-B)$ が現れ、基本極限に持ち込める。

微分を学習済みなら、$\tan \pi x$ の導関数を用いて一瞬で処理できるが、極限の基本問題としては解法1が本道である。

答え

$$ [③]=\frac{\pi}{2} $$