解説

方針・初手

積の形 $f(x)=x e^{-(x-2)^2}$ であるから、積の微分法を用いて $f'(x)$ を求める。

その後、指数関数 $e^{-(x-2)^2}$ は常に正であることを使って、$f'(x)=0$ を満たす条件を整理する。

解法1

$f(x)=x e^{-(x-2)^2}$ を微分すると、

$$ f'(x)=1\cdot e^{-(x-2)^2}+x\cdot e^{-(x-2)^2}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(-(x-2)^2\bigr) $$

である。

ここで、

$$ \frac{d}{dx}\bigl(-(x-2)^2\bigr)=-2(x-2) $$

より、

$$ f'(x)=e^{-(x-2)^2}-2x(x-2)e^{-(x-2)^2} $$

したがって、

$$ f'(x)=e^{-(x-2)^2}{1-2x(x-2)} $$

となる。

いま $e^{-(x-2)^2}>0$ であるから、$f'(x)=0$ となるのは

$$ 1-2x(x-2)=0 $$

のときに限る。

これを整理すると、

$$ 1-2x^2+4x=0 $$

すなわち

$$ 2x^2-4x-1=0 $$

である。

よって解の公式より、

$$ x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2} =\frac{4\pm\sqrt{24}}{4} =\frac{4\pm 2\sqrt6}{4} =1\pm \frac{\sqrt6}{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は、積の微分法を正確に使うことと、$e^{-(x-2)^2}$ が常に正であるため、$f'(x)=0$ を考えるときには残りの因子だけを $0$ とすればよいことである。

指数関数の部分まで無理に方程式として解こうとすると混乱しやすいので、$e^{-(x-2)^2}>0$ を先に確認するのが重要である。

答え

$$ \boxed{①=1\pm \frac{\sqrt6}{2}} $$