基礎問題集
数学3 微分法「微分の基本」の問題43 解説
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解説
方針・初手
底にも指数にも $x$ を含む関数であるから、そのまま微分するのではなく、対数微分法を用いるのが自然である。
ここでは $x>0$ なので $y=\left(\dfrac{2}{x}\right)^x>0$ が成り立ち、$\log y$ をとることができる。
解法1
$$ y=\left(\frac{2}{x}\right)^x $$
とおく。
両辺の自然対数をとると、
$$ \log y=\log\left(\left(\frac{2}{x}\right)^x\right)=x\log\left(\frac{2}{x}\right) $$
である。
さらに
$$ \log\left(\frac{2}{x}\right)=\log 2-\log x $$
であるから、
$$ \log y=x(\log 2-\log x) $$
となる。
両辺を $x$ で微分すると、
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=(\log 2-\log x)+x\left(0-\frac{1}{x}\right) $$
すなわち、
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\log 2-\log x-1 $$
である。
したがって、
$$ \frac{dy}{dx}=y(\log 2-\log x-1) $$
ここで $y=\left(\dfrac{2}{x}\right)^x$ を代入すれば、
$$ \frac{dy}{dx}=\left(\frac{2}{x}\right)^x\left(\log 2-\log x-1\right) $$
を得る。
また、
$$ \log 2-\log x=\log\left(\frac{2}{x}\right) $$
であるから、
$$ \frac{dy}{dx}=\left(\frac{2}{x}\right)^x\left(\log\frac{2}{x}-1\right) $$
としてもよい。
解説
$\left(\dfrac{2}{x}\right)^x$ のように、底と指数の両方に $x$ が入っている関数は対数微分法が基本である。
この方法では、まず対数をとって指数を前に下ろし、その後は積の微分として処理する。特に $x>0$ という条件は、$\log x$ や $\log y$ を扱うために重要である。
答え
$$ \frac{dy}{dx}=\left(\frac{2}{x}\right)^x\left(\log\frac{2}{x}-1\right) $$
または
$$ \frac{dy}{dx}=\left(\frac{2}{x}\right)^x\left(\log 2-\log x-1\right) $$
である。