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数学3 微分法「微分の基本」の問題44 解説

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数学3微分法微分の基本問題44

解説

両辺が $x,y$ の関係式で与えられているので、$x$ で微分する。$y$ は $x$ の関数とみなすため、$y^3$ を微分するときには合成関数の微分を用いるのが初手である。

与えられた式

$$ x^3+y^3=1 $$

の両辺を $x$ で微分する。

すると、

$$ \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(y^3)=\frac{d}{dx}(1) $$

より、

$$ 3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=0 $$

となる。

ここで、$y^3$ の微分は $y$ を $x$ の関数とみて

$$ \frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx} $$

としている。

したがって、

$$ 3y^2\frac{dy}{dx}=-3x^2 $$

であるから、両辺を $3y^2$ で割れば

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{x^2}{y^2} $$

となる。

よって示すべきことが確かめられた。

この問題は陰関数の微分の基本問題である。$x^3$ はそのまま微分し、$y^3$ は $y$ が $x$ に依存しているので、連鎖律により $3y^2\dfrac{dy}{dx}$ となる点が重要である。

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{x^2}{y^2} $$