解説

注意

画像が一部のみであり、式は $\sum_{k=1}^{n} k {}_{n}\mathrm{C}_{k}$ と読み取っている。以下はこの式を計算する場合の解答解説である。

方針・初手

和の中に $k{}_{n}\mathrm{C}_{k}$ があるので、まずこれを組合せの基本公式で変形するのが自然である。

$$ k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} $$

と直せるため、添字をずらして二項定理に持ち込めば一気に計算できる。

解法1

まず、

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$

より、

$$ \begin{aligned} k{}_{n}\mathrm{C}_{k} &= k\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \\ n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} \\ n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} k{}_{n}\mathrm{C}_{k} &= \sum_{k=1}^{n} n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \\ n\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \end{aligned} $$

となる。ここで $j=k-1$ とおくと、$k=1,2,\dots,n$ に対応して $j=0,1,\dots,n-1$ であるから、

$$ \begin{aligned} n\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} &= n\sum_{j=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm{C}_{j} \end{aligned} $$

を得る。

二項定理より、

$$ \sum_{j=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm{C}_{j}=(1+1)^{n-1}=2^{n-1} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} k{}_{n}\mathrm{C}_{k} &= n2^{n-1} \end{aligned} $$

となる。

解法2

二項定理

$$ (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^k $$

を $x$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} n(1+x)^{n-1} &= \sum_{k=1}^{n} k{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^{k-1} \end{aligned} $$

となる。

ここで $x=1$ を代入すれば、

$$ \begin{aligned} n(1+1)^{n-1} &= \sum_{k=1}^{n} k{}_{n}\mathrm{C}_{k} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} k{}_{n}\mathrm{C}_{k} &= n2^{n-1} \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、$k{}_{n}\mathrm{C}_{k}$ をそのまま扱わず、組合せの形を保ったまま変形することである。とくに

$$ k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} $$

は頻出の基本変形であり、和を二項定理に直結させる強力な公式である。

また、二項定理を微分して係数に $k$ を出す方法も典型的であり、こちらも重要である。

答え

$$ \sum_{k=1}^{n} k{}_{n}\mathrm{C}_{k}=n2^{n-1} $$

したがって、【2】は

$$ n2^{n-1} $$

である。