解説

方針・初手

（1） は $x\neq 0$ での通常の微分計算を行えばよい。

（2） はまず $x\geqq 0$ で $\sin x\leqq x$ を示し，その結果を使って $\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$ の増減を調べる。

（3） は $\sin x$ の奇関数性 $\sin(-x)=-\sin x$ を用いて （2） に帰着する。

（4） は （2）, （3） から $\sin x-x$ の大きさを評価し，差商をはさみうちする。

解法1

（1） $x=a\ (a\neq 0)$ における微分係数

$x\neq 0$ では

$$ f(x)=\frac{\sin x}{x} $$

であるから，商の微分法より

$$ f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2} $$

となる。したがって

$$ f'(a)=\frac{a\cos a-\sin a}{a^2} $$

である。

（2） $x\geqq 0$ のときの不等式

まず

$$ g(x)=\sin x-x $$

とおくと，

$$ g'(x)=\cos x-1\leqq 0 $$

である。よって $g(x)$ は $x\geqq 0$ で単調非増加であり，$g(0)=0$ だから

$$ g(x)\leqq 0 $$

すなわち

$$ \sin x\leqq x \qquad (x\geqq 0) $$

を得る。

次に

$$ h(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6} $$

とおくと，

$$ h'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2} $$

である。ここで

$$ p(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2} $$

とおけば，

$$ p'(x)=-\sin x+x=x-\sin x $$

となる。先ほど示した $\sin x\leqq x\ (x\geqq 0)$ より

$$ p'(x)\geqq 0 \qquad (x\geqq 0) $$

であるから，$p(x)$ は $x\geqq 0$ で単調非減少である。しかも $p(0)=0$ なので

$$ p(x)\geqq 0 \qquad (x\geqq 0) $$

したがって

$$ h'(x)\geqq 0 \qquad (x\geqq 0) $$

となる。ゆえに $h(x)$ は $x\geqq 0$ で単調非減少であり，$h(0)=0$ だから

$$ h(x)\geqq 0 $$

すなわち

$$ \sin x\geqq x-\frac{x^3}{6} $$

を得る。

以上より

$$ x-\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x $$

であり，$x\geqq 0$ では $\dfrac{x^3}{6}\geqq 0$ だから $x\leqq x+\dfrac{x^3}{6}$ である。したがって

$$ x-\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x+\frac{x^3}{6} $$

が成り立つ。

（3） $x\leqq 0$ のときの不等式

$y=-x$ とおくと $y\geqq 0$ であるから，（2） より

$$ y-\frac{y^3}{6}\leqq \sin y\leqq y+\frac{y^3}{6} $$

が成り立つ。ここで $y=-x$ および $\sin(-x)=-\sin x$ を用いると

$$ -x-\frac{(-x)^3}{6}\leqq -\sin x\leqq -x+\frac{(-x)^3}{6} $$

すなわち

$$ -x+\frac{x^3}{6}\leqq -\sin x\leqq -x-\frac{x^3}{6} $$

となる。両辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを変えると

$$ x+\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x-\frac{x^3}{6} $$

を得る。

（4） $x=0$ における微分係数

$x\neq 0$ に対して

$$ \frac{f(x)-f(0)}{x} =\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x} =\frac{\sin x-x}{x^2} $$

である。

（2）, （3） より，$x$ の符号にかかわらず

$$ |\sin x-x|\leqq \frac{|x|^3}{6} $$

が成り立つ。したがって

$$ \left|\frac{\sin x-x}{x^2}\right| \leqq \frac{|x|}{6} $$

となるので，$x\to 0$ とすると右辺は $0$ に収束する。よってはさみうちの原理により

$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^2} =0 $$

である。したがって

$$ f'(0)=0 $$

である。

解説

この問題の要点は，$\sin x-x$ そのものだけでなく，$\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$ のように補正項を加えた関数を作って導関数の符号を調べることである。

まず $x\geqq 0$ で $\sin x\leqq x$ を示し，それを使って $\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}\geqq 0$ を導くと，下からの評価 $\sin x\geqq x-\dfrac{x^3}{6}$ が得られる。$x\leqq 0$ の場合は奇関数性を使えば同様の評価がすぐ出る。

最後は

$$ |\sin x-x|\leqq \frac{|x|^3}{6} $$

という評価がそのまま $f'(0)$ の差商の評価につながる。$x=0$ での微分可能性を示すために，この種の高次の誤差評価を使うのが典型である。

答え

**(1)**

$$ f'(a)=\frac{a\cos a-\sin a}{a^2}\qquad (a\neq 0) $$

**(2)**

$x\geqq 0$ のとき

$$ x-\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x+\frac{x^3}{6} $$

**(3)**

$x\leqq 0$ のとき

$$ x+\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x-\frac{x^3}{6} $$

**(4)**

$$ f'(0)=0 $$