解説

方針・初手

極限は $|x|<1$、$x=\pm 1$、$|x|>1$ で挙動が変わる。したがって、まず $f(x)$ を場合分けで具体的に求め、連続になる条件を $x=\pm 1$ で課す。

そのうえで、(1) の条件を満たしたあとの $f(x)$ は、区間 $|x|\le 1$ では下に凸の二次関数、$|x|>1$ では $a/x$ となるので、それぞれの範囲で最大値を比較すればよい。

解法1

各 $x$ に対して

$$ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{ax^{2n-1}-x^2+bx+c}{x^{2n}+1} $$

を考える。

**(i)**

$|x|<1$ のとき

$$ x^{2n}\to 0,\qquad x^{2n-1}\to 0 $$

であるから、

$$ f(x)=-x^2+bx+c $$

となる。

**(ii)**

$x=1$ のとき

$$ f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{a-1+b+c}{2} =\frac{a+b+c-1}{2} $$

である。

**(iii)**

$x=-1$ のとき、$(-1)^{2n}=1,\ (-1)^{2n-1}=-1$ より

$$ f(-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{-a-1-b+c}{2} =\frac{c-a-b-1}{2} $$

となる。

**(iv)**

$|x|>1$ のとき、分子分母を $x^{2n}$ で割ると

$$ f(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{\dfrac{a}{x}-x^{2-2n}+bx^{1-2n}+cx^{-2n}}{1+x^{-2n}} =\frac{a}{x} $$

となる。

したがって、

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{a}{x} & (|x|>1),\\[1mm] \dfrac{a+b+c-1}{2} & (x=1),\\[1mm] -x^2+bx+c & (|x|<1),\\[1mm] \dfrac{c-a-b-1}{2} & (x=-1) \end{cases} $$

である。

(1) 連続となる条件

不連続の可能性があるのは $x=\pm 1$ のみである。

$x=1$ で連続であるためには、左右極限が一致すればよい。左側では $-x^2+bx+c$、右側では $a/x$ なので、

$$ -1+b+c=a $$

を得る。

$x=-1$ で連続であるためには、

$$ -1-b+c=-a $$

を得る。

この 2 式を連立すると、

$$ \begin{aligned} b+c-1&=a,\\ c-b-1&=-a \end{aligned} $$

より、加えて

$$ 2c-2=0 $$

すなわち

$$ c=1 $$

さらにこれを戻して

$$ b=a $$

となる。

よって、連続となる条件は

$$ b=a,\qquad c=1 $$

である。

(2) 最大値とそのときの $x$

(1) の条件 $b=a,\ c=1$ を用いると、

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{a}{x} & (|x|>1),\\[1mm] -x^2+ax+1 & (|x|\le 1) \end{cases} $$

となる。

まず、$|x|>1$ では

• $x>1$ のとき $f(x)=a/x\le a$
• $x<-1$ のとき $f(x)=a/x<0$

である。

次に、$|x|\le 1$ では

$$ f(x)=-x^2+ax+1 $$

であり、下に凸の二次関数だから頂点は

$$ x=\frac{a}{2} $$

である。

（i） $0<a\le 2$ のとき

頂点 $x=a/2$ は区間 $[-1,1]$ に含まれるので、$|x|\le 1$ での最大値は

$$ f\left(\frac{a}{2}\right) =-\left(\frac{a}{2}\right)^2+a\cdot \frac{a}{2}+1 =1+\frac{a^2}{4} $$

である。

一方、$|x|>1$ での最大値は高々 $a$ であるが、

$$ 1+\frac{a^2}{4}-a =\frac{(a-2)^2}{4}\ge 0 $$

より

$$ 1+\frac{a^2}{4}\ge a $$

である。したがって全体の最大値は

$$ 1+\frac{a^2}{4} $$

であり、そのとき

$$ x=\frac{a}{2} $$

である。

（ii） $a>2$ のとき

頂点 $x=a/2$ は $1$ より大きいので、区間 $[-1,1]$ では $-x^2+ax+1$ は単調増加であり、最大値は $x=1$ で

$$ f(1)=a $$

となる。

また、$x>1$ でも $a/x<a$、$x<-1$ では $f(x)<0$ だから、全体の最大値は

$$ a $$

であり、そのとき

$$ x=1 $$

である。

以上より、

$$ \max f(x)= \begin{cases} 1+\dfrac{a^2}{4} & (0<a\le 2),\\[2mm] a & (a>2) \end{cases} $$

であり、それを与える $x$ は

$$ x= \begin{cases} \dfrac{a}{2} & (0<a\le 2),\\[2mm] 1 & (a>2) \end{cases} $$

である。

(3) 最大値が $\dfrac{5}{4}$ となるときの $a,b,c$

(2) より場合分けする。

（i） $0<a\le 2$ のとき

$$ 1+\frac{a^2}{4}=\frac{5}{4} $$

より

$$ \frac{a^2}{4}=\frac{1}{4} $$

したがって

$$ a^2=1 $$

である。しかも $a>0$ だから

$$ a=1 $$

となる。

（ii） $a>2$ のとき

最大値は $a$ であるから

$$ a=\frac{5}{4} $$

となるが、これは $a>2$ に反する。よって不適。

したがって

$$ a=1 $$

であり、(1) の条件 $b=a,\ c=1$ から

$$ b=1,\qquad c=1 $$

となる。

解説

この問題の本質は、$x^{2n}$ の極限の挙動を $|x|<1$、$|x|=1$、$|x|>1$ で正しく分けることである。ここを曖昧にすると (1) の連続条件が出せない。

また、(2) では $|x|\le 1$ の二次関数と $|x|>1$ の $a/x$ を別々に見て比較するのが自然である。特に $x<-1$ では $a/x<0$ となるため、最大値の候補から外れやすい点に注意したい。

答え

**(1)**

$$ b=a,\qquad c=1 $$

**(2)**

$$ \max f(x)= \begin{cases} 1+\dfrac{a^2}{4} & (0<a\le 2),\\[2mm] a & (a>2) \end{cases} $$

そのときの $x$ は

$$ x= \begin{cases} \dfrac{a}{2} & (0<a\le 2),\\[2mm] 1 & (a>2) \end{cases} $$

**(3)**

$$ a=1,\qquad b=1,\qquad c=1 $$