解説

方針・初手

まず (x=y=0) を代入して (f(0),g(0)) を決める。その後，等式①，②を差商の形に変形し，(x=0) での微分可能性から任意の (x) での微分方程式を得る。最後に (f(x)^2+g(x)^2) の微分を調べれば，(F(x)=\log{f(x)^2+g(x)^2}) は一次式になる。

解法1

（1） (f(0),g(0)) を求める。

(a=f(0),\ b=g(0)) とおく。等式①，②に (x=y=0) を代入すると，

$$ a=a^2-b^2 $$

$$ b=2ab $$

を得る。

第2式より，

$$ b(1-2a)=0 $$

であるから，（i） (b=0) または （ii） (a=\dfrac12) である。

（i） (b=0) のとき，第1式は

$$ a=a^2 $$

となるので，

$$ a=0,\ 1 $$

である。しかし条件 (f(0)^2+g(0)^2>0) より (a=b=0) は不適であるから，

$$ a=1,\ b=0 $$

となる。

（ii） (a=\dfrac12) のとき，第1式は

$$ \frac12=\frac14-b^2 $$

となるが，これは

$$ b^2=-\frac14 $$

を意味し，実数 (b) では不可能である。

したがって，

$$ f(0)=1,\qquad g(0)=0 $$

である。

（2） まず空欄 ([サ],[シ]) を求める。

①より，

$$ f(x+y)-f(x)=f(x){f(y)-1}-g(x)g(y) $$

であるから，(y\neq 0) に対して

$$ \frac{f(x+y)-f(x)}{y} =\frac{f(y)-1}{y}f(x)-\frac{g(y)}{y}g(x) $$

となる。

また②より，

$$ g(x+y)-g(x)=f(x)g(y)+g(x){f(y)-1} $$

であるから，

$$ \frac{g(x+y)-g(x)}{y} =\frac{g(y)}{y}f(x)+\frac{f(y)-1}{y}g(x) $$

となる。

よって，

$$ [サ]=\frac{f(y)-1}{y},\qquad [シ]=\frac{g(y)}{y} $$

である。

ここで，(f,g) は (x=0) で微分可能で，(f'(0)=2,\ g'(0)=1) であるから，

$$ \lim_{y\to 0}\frac{f(y)-1}{y}=2,\qquad \lim_{y\to 0}\frac{g(y)}{y}=1 $$

である。したがって，上の差商表示で (y\to 0) とすると，任意の (x) で微分可能で，

$$ f'(x)=2f(x)-g(x) $$

$$ g'(x)=f(x)+2g(x) $$

を得る。ゆえに，

$$ [ス]=2f(x)-g(x),\qquad [セ]=f(x)+2g(x) $$

である。

次に，

$$ S(x)=f(x)^2+g(x)^2 $$

とおくと，

$$ S'(x)=2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x) $$

であり，上の微分方程式を代入すると，

$$ \begin{aligned} S'(x) &=2f(x){2f(x)-g(x)}+2g(x){f(x)+2g(x)} \\ &=4f(x)^2-2f(x)g(x)+2f(x)g(x)+4g(x)^2 \\ &=4{f(x)^2+g(x)^2} \\ &=4S(x) \end{aligned} $$

となる。

よって，

$$ F(x)=\log{f(x)^2+g(x)^2}=\log S(x) $$

とおけば，

$$ F'(x)=\frac{S'(x)}{S(x)}=4 $$

である。したがって，

$$ [ソ]=4 $$

である。

さらに （1） で求めた (f(0)=1,\ g(0)=0) より，

$$ F(0)=\log{1^2+0^2}=\log 1=0 $$

であるから，

$$ F(x)=4x $$

となる。よって，

$$ [タ]=4x $$

であり，

$$ f(x)^2+g(x)^2=e^{F(x)}=e^{4x} $$

となるので，

$$ [チ]=e^{4x} $$

である。

解説

この問題の要点は，①，②が加法公式と同じ形をしていることである。そのため，差商を直接変形すると，(x=0) での微分係数 (\dfrac{f(y)-1}{y},\ \dfrac{g(y)}{y}) がそのまま一般の (x) における導関数の式へ移る。

その後は (f^2+g^2) を見るのが自然である。実際，(f',g') の式を代入すると交差項が打ち消し合い，((f^2+g^2)'=4(f^2+g^2)) となるため，対数を取れば導関数が定数になる。

答え

**(1)**

$$ f(0)=1,\qquad g(0)=0 $$

**(2)**

$$ [サ]=\frac{f(y)-1}{y},\qquad [シ]=\frac{g(y)}{y} $$

$$ [ス]=2f(x)-g(x),\qquad [セ]=f(x)+2g(x) $$

$$ [ソ]=4,\qquad [タ]=4x,\qquad [チ]=e^{4x} $$