解説

方針・初手

$|x^2-1|$ を含むので，$x=\pm1$ で式の形が変わる。したがって，まず

$$ f(x)= \begin{cases} (x^2-1)e^{-x} & (x\le -1,\ x\ge 1),\\ (1-x^2)e^{-x} & (-1<x<1) \end{cases} $$

と場合分けして考える。

（1） は微分可能の定義をそのまま述べればよい。

（2） は $x=1$ における左右の差商を調べればよい。

（3） は各区間で微分し，導関数の符号変化と $x=\pm1$ における値を見れば極値が分かる。

解法1

（1） 関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは，極限

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

が存在することである。この極限値を $f'(a)$ という。

**(2)**

$f(1)=|1^2-1|e^{-1}=0$ である。

また，$x$ が $1$ の近くで

$$ |x^2-1|= \begin{cases} 1-x^2 & (x<1),\\ x^2-1 & (x>1) \end{cases} $$

となるので，$x=1$ における右側微分係数は

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 1+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &= \lim_{x\to 1+}\frac{(x^2-1)e^{-x}}{x-1} \\ \lim_{x\to 1+}(x+1)e^{-x} \\ \frac{2}{e} \end{aligned} $$

である。

一方，左側微分係数は

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &= \lim_{x\to 1-}\frac{(1-x^2)e^{-x}}{x-1} \\ \lim_{x\to 1-}-(x+1)e^{-x} \\ -\frac{2}{e} \end{aligned} $$

である。

右側微分係数と左側微分係数が一致しないから，$f(x)$ は $x=1$ で微分可能でない。

（3） まず区間ごとに微分する。

**(i)**

$x<-1$ または $x>1$ のとき

$$ f(x)=(x^2-1)e^{-x} $$

より，

$$ f'(x)=2xe^{-x}-(x^2-1)e^{-x} =e^{-x}(-x^2+2x+1) $$

である。

**(ii)**

$-1<x<1$ のとき

$$ f(x)=(1-x^2)e^{-x} $$

より，

$$ f'(x)=-2xe^{-x}-(1-x^2)e^{-x} =e^{-x}(x^2-2x-1) $$

である。

ここで，$e^{-x}>0$ だから，導関数の符号は2次式の符号で決まる。

まず

$$ -x^2+2x+1=0 $$

の解は

$$ x=1\pm\sqrt{2} $$

である。

また

$$ x^2-2x-1=0 $$

の解も

$$ x=1\pm\sqrt{2} $$

である。

したがって，各区間での増減は次のようになる。

**(ア)**

$x<-1$ では，$-x^2+2x+1<0$ であるから $f'(x)<0$ であり，減少する。

**(イ)**

$-1<x<1-\sqrt{2}$ では，$x^2-2x-1>0$ であるから $f'(x)>0$ であり，増加する。

**(ウ)**

$1-\sqrt{2}<x<1$ では，$x^2-2x-1<0$ であるから $f'(x)<0$ であり，減少する。

**(エ)**

$1<x<1+\sqrt{2}$ では，$-x^2+2x+1>0$ であるから $f'(x)>0$ であり，増加する。

**(オ)**

$x>1+\sqrt{2}$ では，$-x^2+2x+1<0$ であるから $f'(x)<0$ であり，減少する。

さらに

$$ f(-1)=f(1)=0 $$

であり，しかも $f(x)=|x^2-1|e^{-x}\ge 0$ であるから，$x=-1,\ 1$ で極小値 $0$ をとる。

次に極大値を求める。

$x=1-\sqrt{2}$ のとき，

$$ \begin{aligned} f(1-\sqrt{2}) &= \left\{1-(1-\sqrt{2})^2\right\}e^{-(1-\sqrt{2})} \end{aligned} $$

$$ = \left\{1-(3-2\sqrt{2})\right\}e^{\sqrt{2}-1} =2(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}-1} $$

である。

また，$x=1+\sqrt{2}$ のとき，

$$ \begin{aligned} f(1+\sqrt{2}) &= \left\{(1+\sqrt{2})^2-1\right\}e^{-(1+\sqrt{2})} \end{aligned} $$

$$ (2+2\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}} = 2(1+\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}} $$

である。

よって，極値は

• $x=-1,\ 1$ で極小値 $0$
• $x=1-\sqrt{2}$ で極大値 $2(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}-1}$
• $x=1+\sqrt{2}$ で極大値 $2(1+\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}}$

である。

解説

この問題の要点は，$|x^2-1|$ のために $x=\pm1$ で式の形が変わることにある。

微分可能性の判定では，絶対値を含む関数は折れ曲がりが生じやすいので，まず左右で式を分けて差商を調べるのが基本である。

極値の問題でも，同様に区間ごとに式を分けて導関数の符号を調べるのが正攻法である。特に $x=\pm1$ では微分できなくても，関数値が周囲より小さければ極小値になりうることに注意する。

答え

**(1)**

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは，

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

が存在することである。

**(2)**

$x=1$ における左側微分係数は $-\dfrac{2}{e}$，右側微分係数は $\dfrac{2}{e}$ で一致しない。したがって，$f(x)$ は $x=1$ で微分可能でない。

**(3)**

極値は次の通りである。

$x=-1,\ 1$ で極小値 $0$

$x=1-\sqrt{2}$ で極大値 $2(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}-1}$

$x=1+\sqrt{2}$ で極大値 $2(1+\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}}$