解説

方針・初手

微分可能性の定義は、差商

$$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

の極限で述べるのが基本である。

（2） は

$$ f(a+h)-f(a)=h\cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

と書くのが初手であり、微分可能であることから右辺の極限を評価すれば連続性が従う。

（3） と （4） は、いずれも導関数の公式をそのまま使うのではなく、定義に戻って差商の極限を計算する。

解法1

**(1)**

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは、極限

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

が存在することである。

この極限値を $f'(a)$ と書き、$x=a$ における $f(x)$ の導関数の値、すなわち微分係数という。

なお、同値な形として

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

が存在することとして定義してもよい。

**(2)**

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとする。このとき

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) $$

が存在する。

ここで

$$ \begin{aligned} f(a+h)-f(a) &= h\cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{aligned} $$

と書ける。

$h\to 0$ のとき、$h\to 0$ であり、また

$$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a) $$

であるから、

$$ f(a+h)-f(a)\to 0 $$

となる。

したがって

$$ f(a+h)\to f(a)\qquad (h\to 0) $$

である。これは

$$ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) $$

を意味するから、$f(x)$ は $x=a$ で連続である。

よって、$f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$f(x)$ は $x=a$ で連続であることが示された。

**(3)**

$f(x)=x^n$ とする。ただし $n$ は自然数である。$x=a$ における微分係数を定義に従って求めると、

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^n-a^n}{h} $$

となる。

ここで二項定理より

$$ \begin{aligned} (a+h)^n &= a^n+na^{n-1}h+{}_{n}\mathrm{C}_{2}a^{n-2}h^2+\cdots+h^n \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{(a+h)^n-a^n}{h} &= na^{n-1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2}a^{n-2}h +\cdots +h^{n-1} \end{aligned} $$

となる。よって $h\to 0$ とすると、$h$ を含む項はすべて $0$ に収束するので、

$$ f'(a)=na^{n-1} $$

を得る。

$a$ は任意であるから、

$$ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1} $$

である。

**(4)**

$f(x)=\sin x$ とする。$x=a$ における微分係数は

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(a+h)-\sin a}{h} $$

である。

加法定理

$$ \sin(a+h)=\sin a\cos h+\cos a\sin h $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{\sin(a+h)-\sin a}{h} &= \sin a\cdot \frac{\cos h-1}{h} +\cos a\cdot \frac{\sin h}{h} \end{aligned} $$

となる。

問題文より

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 $$

は証明なしに用いてよい。

したがって、あとは

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 $$

を示せばよい。

恒等式

$$ 1-\cos h=2\sin^2\frac{h}{2} $$

より、

$$ \begin{aligned} \left|\frac{\cos h-1}{h}\right| &= \frac{2\sin^2(h/2)}{|h|} \\ \left|\sin\frac{h}{2}\right| \cdot \left|\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right| \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h/2)}{h/2}=1 $$

であり、また

$$ \begin{aligned} \sin\frac{h}{2} &= \frac{h}{2}\cdot \frac{\sin(h/2)}{h/2}\to 0 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 $$

が従う。

よって

$$ \begin{aligned} f'(a) &= \sin a\cdot 0+\cos a\cdot 1 \\ \cos a \end{aligned} $$

である。

$a$ は任意であるから、

$$ \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x $$

となる。

解説

この問題の核は、導関数の公式を暗記した形で使うのではなく、すべて微分係数の定義

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

から出発する点にある。

（2） では、微分可能なら連続であることを示す典型手法として、

$$ f(a+h)-f(a)=h\cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

と分解する見方が重要である。

（3） では二項定理、（4） では加法定理と基本極限

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 $$

を組み合わせればよい。特に （4） では

$$ \frac{\cos h-1}{h}\to 0 $$

をきちんと補うことが要点である。

答え

**(1)**

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは、

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

が存在することである。この極限値を $f'(a)$ と書く。

**(2)**

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば

$$ f(a+h)-f(a)=h\cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

より、

$$ f(a+h)-f(a)\to 0 \qquad (h\to 0) $$

となる。したがって

$$ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) $$

であり、$f(x)$ は $x=a$ で連続である。

**(3)**

$$ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\qquad (n\in \mathbb{N}) $$

**(4)**

$$ \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x $$