解説

方針・初手

$e^x\cos x$ や $e^x\sin x$ を微分すると、$e^x$ はそのままで、三角関数部分が線形結合として回転する形になる。したがって、

$$ \cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right),\qquad \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

を用いて、微分のたびに「$\sqrt{2}$ 倍され、偏角が $\dfrac{\pi}{4}$ ずつ進む」と捉えるのが初手である。

解法1

まず

$$ y=e^x\cos x $$

のとき、

$$ y' = e^x\cos x-e^x\sin x = e^x(\cos x-\sin x) $$

である。

ここで

$$ \cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

より、

$$ y'=\sqrt{2}e^x\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

となる。よって

$$ \boxed{\text{ア}=\frac14} $$

である。

次に、一般に

$$ \frac{d}{dx}\left(e^x\cos\theta\right) =e^x(\cos\theta-\sin\theta) =\sqrt{2}e^x\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

が成り立つ。ただし $\theta=x+\text{定数}$ である。

したがって、微分するたびに係数は $\sqrt{2}$ 倍、角は $\dfrac{\pi}{4}$ だけ進むので、

$$ y^{(n)}=(\sqrt{2})^n e^x\cos\left(x+\frac{n\pi}{4}\right) $$

となる。ゆえに

$$ \boxed{\text{イ}=(\sqrt{2})^n=2^{n/2}},\qquad \boxed{\text{ウ}=\frac{n}{4}} $$

である。

次に

$$ y=e^x(\cos x+\sin x) $$

のときを考える。

まず

$$ \cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

であるから、

$$ y=\sqrt{2}e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

と書ける。

ここで

$$ \frac{d}{dx}\left(e^x\sin\theta\right) =e^x(\sin\theta+\cos\theta) =\sqrt{2}e^x\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

が成り立つので、やはり微分するたびに係数は $\sqrt{2}$ 倍、角は $\dfrac{\pi}{4}$ だけ進む。

もともと係数が $\sqrt{2}$、偏角が $x+\dfrac{\pi}{4}$ であるから、

$$ y^{(n)} =(\sqrt{2})^n\cdot \sqrt{2}e^x \sin\left(x+\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{4}\right) $$

すなわち

$$ y^{(n)}=(\sqrt{2})^{n+1}e^x\sin\left(x+\frac{(n+1)\pi}{4}\right) $$

となる。よって

$$ \boxed{\text{エ}=(\sqrt{2})^{n+1}=2^{(n+1)/2}},\qquad \boxed{\text{オ}=\frac{n+1}{4}} $$

である。

解説

この問題の要点は、$e^x\cos x$ や $e^x\sin x$ を微分すると、三角関数部分が「位相をずらした同じ形」に戻ることである。

毎回直接微分してもよいが、それでは一般項は見えにくい。$\cos x\pm\sin x$ を $\sqrt{2}\cos(\cdots)$ や $\sqrt{2}\sin(\cdots)$ にまとめることで、微分のたびに

$$ \text{係数 } \sqrt{2}\text{ 倍},\qquad \text{偏角 } \frac{\pi}{4}\text{ だけ増加} $$

という規則がはっきりする。この規則をそのまま $n$ 回繰り返せば一般式が得られる。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=\frac14},\qquad \boxed{\text{イ}=2^{n/2}},\qquad \boxed{\text{ウ}=\frac{n}{4}},\qquad \boxed{\text{エ}=2^{(n+1)/2}},\qquad \boxed{\text{オ}=\frac{n+1}{4}} $$