解説

方針・初手

まず $x=3$ における連続条件から $a,b$ の関係を求める。

つぎに、平均変化率

$$ g(h)=\frac{f(3+h)-f(3)}{h} $$

を $h>0,\ h<0$ で場合分けして左右極限を調べれば、微分可能条件が得られる。

その後は、微分可能と分かったあとの関数を用いて、接線、面積、回転体の体積を順に求めればよい。面積は横に切ると計算が整い、体積は $y$ 軸が境界に入っているので円筒殻法で処理するのが自然である。

解法1

$x=3$ での左側の値は

$$ f(3)=e^{3/2} $$

である。

また、$x>3$ 側からの極限値は

$$ \lim_{x\to 3+}f(x)=a\sqrt{2\cdot 3-2}+b=2a+b $$

であるから、連続条件より

$$ 2a+b=e^{3/2} $$

したがって、

$$ b=e^{3/2}-2a $$

となる。よって **ア** は $e^{3/2}-2a$ である。

つぎに、平均変化率 $g(h)$ を求める。

**(i)**

$h>0$ のとき

$$ g(h)=\frac{f(3+h)-f(3)}{h} =\frac{a\sqrt{2(3+h)-2}+b-e^{3/2}}{h} $$

ここで $b=e^{3/2}-2a$ を用いると

$$ g(h)=\frac{a\sqrt{2h+4}-2a}{h} =\frac{a(\sqrt{2h+4}-2)}{h} $$

である。よって **イ** は $a(\sqrt{2h+4}-2)$ である。

さらに有理化すると

$$ g(h)=\frac{a(\sqrt{2h+4}-2)}{h} =\frac{2a}{\sqrt{2h+4}+2} $$

であるから、

$$ \lim_{h\to +0}g(h)=\frac{a}{2} $$

となる。よって **エ** は $\dfrac{a}{2}$ である。

**(ii)**

$h<0$ のときは $3+h<3$ であるから

$$ g(h)=\frac{e^{(3+h)/2}-e^{3/2}}{h} $$

となる。よって **ウ** は $e^{(3+h)/2}-e^{3/2}$ である。

これは $e^{x/2}$ の $x=3$ における微分係数なので、

$$ \lim_{h\to -0}g(h)=\left(\frac12 e^{x/2}\right)_{x=3} =\frac{e^{3/2}}{2} $$

となる。よって **オ** は $\dfrac{e^{3/2}}{2}$ である。

したがって、$x=3$ で微分可能であるための条件は

$$ \frac{a}{2}=\frac{e^{3/2}}{2} $$

すなわち

$$ a=e^{3/2} $$

である。さらに連続条件

$$ b=e^{3/2}-2a $$

に代入して

$$ b=e^{3/2}-2e^{3/2}=-e^{3/2} $$

を得る。よって **カ** は $e^{3/2}$、**キ** は $-e^{3/2}$ である。

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以下、$x=3$ で微分可能であるとして進める。このとき

$$ a=e^{3/2},\qquad b=-e^{3/2} $$

であるから、

$$ f(x)= \begin{cases} e^{x/2} & (x\leq 3),\\ e^{3/2}\sqrt{2x-2}-e^{3/2} & (x>3) \end{cases} $$

となる。

(2)(a) 接線の方程式

接点は $(3,f(3))=(3,e^{3/2})$ である。

傾きは

$$ f'(3)=\frac{e^{3/2}}{2} $$

であるから、接線 $\ell$ は

$$ y-e^{3/2}=\frac{e^{3/2}}{2}(x-3) $$

すなわち

$$ y=\frac{e^{3/2}}{2}(x-1) $$

である。よって **ク** は $\dfrac{e^{3/2}}{2}(x-1)$ である。

(2)(b) 面積

水平線を

$$ y=\frac{5e}{3} $$

とする。

この値は $e^{3/2}$ より大きいので、囲まれる部分は $x>3$ 側にある。そこで $y$ を用いて横に切って面積を求める。

接線 $\ell$ からは

$$ y=\frac{e^{3/2}}{2}(x-1) \quad\Longrightarrow\quad x=1+\frac{2y}{e^{3/2}} $$

を得る。

また、$x>3$ 側の曲線

$$ y=e^{3/2}(\sqrt{2x-2}-1) $$

からは

$$ \sqrt{2x-2}=1+\frac{y}{e^{3/2}} $$

より

$$ x=1+\frac12\left(1+\frac{y}{e^{3/2}}\right)^2 $$

を得る。

したがって面積 $S$ は

$$ S=\int_{e^{3/2}}^{5e/3} \left[ 1+\frac12\left(1+\frac{y}{e^{3/2}}\right)^2 -\left(1+\frac{2y}{e^{3/2}}\right) \right]dy $$

である。

ここで $u=\dfrac{y}{e^{3/2}}$ とおくと、$dy=e^{3/2}du$ であり、積分区間は

$$ y=e^{3/2}\ \Longrightarrow\ u=1,\qquad y=\frac{5e}{3}\ \Longrightarrow\ u=\frac{5}{3\sqrt e} $$

となる。被積分関数は

$$ \frac12(1+u)^2-2u=\frac12(u-1)^2 $$

だから、

$$ S=\frac{e^{3/2}}{2}\int_1^{5/(3\sqrt e)}(u-1)^2,du $$

となる。よって

$$ S=\frac{e^{3/2}}{2}\cdot \frac{1}{3} \left(\frac{5}{3\sqrt e}-1\right)^3 =\frac{(5-3\sqrt e)^3}{162} $$

である。したがって **ケ** は

$$ \frac{(5-3\sqrt e)^3}{162} $$

である。

(2)(c) 回転体の体積

曲線 $y=f(x)$、接線 $\ell$、$y$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転する。ここでは $y$ で横に切って円筒殻法を用いる。

接線は

$$ x=1+\frac{2y}{e^{3/2}} $$

である。

また、$0\leq x\leq 3$ における曲線は $y=e^{x/2}$、すなわち

$$ x=2\ln y \qquad (1\leq y\leq e^{3/2}) $$

である。

したがって、体積 $V$ は

$$ V= 2\pi\int_{-e^{3/2}/2}^{0} (-y)\left(1+\frac{2y}{e^{3/2}}\right)dy + 2\pi\int_{0}^{1} y\left(1+\frac{2y}{e^{3/2}}\right)dy + 2\pi\int_{1}^{e^{3/2}} y\left(1+\frac{2y}{e^{3/2}}-2\ln y\right)dy $$

である。

第1項は

$$ \int_{-e^{3/2}/2}^{0} (-y)\left(1+\frac{2y}{e^{3/2}}\right)dy =\frac{e^3}{24} $$

第2項は

$$ \int_{0}^{1} y\left(1+\frac{2y}{e^{3/2}}\right)dy =\frac12+\frac{2}{3e^{3/2}} $$

第3項は

$$ \int_{1}^{e^{3/2}} y\left(1+\frac{2y}{e^{3/2}}-2\ln y\right)dy =-e^3\cdot \frac32+\frac{5e^3}{3}-1-\frac{2}{3e^{3/2}} $$

であるから、これらを足し合わせると

$$ V =2\pi\left(\frac{5e^3}{24}-\frac12\right) =\pi\left(\frac{5e^3}{12}-1\right) $$

となる。よって **コ** は

$$ \pi\left(\frac{5e^3}{12}-1\right) $$

である。

解説

この問題の核心は、$x=3$ での連続性と微分可能性を、左右から丁寧に分けて調べることである。

特に平均変化率 $g(h)$ は、$h>0$ では右側の式、$h<0$ では左側の式を使う必要がある。この切り替えを曖昧にすると誤る。

また、**(2)(b)** の面積は $x$ で積分するより $y$ で積分した方が式が整いやすい。**(2)(c)** の体積も、$y$ 軸が境界になっており、さらに接線が $x$ 軸を横切るため、円筒殻法で横に切るのが自然である。

答え

**(1)**

**(a)**

**ア** $=e^{3/2}-2a$

**(b)**

$$ \text{**イ**}=a(\sqrt{2h+4}-2),\qquad \text{**ウ**}=e^{(3+h)/2}-e^{3/2} $$

$$ \text{**エ**}=\frac{a}{2},\qquad \text{**オ**}=\frac{e^{3/2}}{2} $$

$$ \text{**カ**}=e^{3/2},\qquad \text{**キ**}=-e^{3/2} $$

**(2)**

$$ \text{**ク**}=\frac{e^{3/2}}{2}(x-1) $$

$$ \text{**ケ**}=\frac{(5-3\sqrt e)^3}{162} $$

$$ \text{**コ**}=\pi\left(\frac{5e^3}{12}-1\right) $$