解説

方針・初手

平面は 3 点 $(t,0,0)$, $(0,2t,0)$, $(0,0,3t)$ を通るので，その方程式は

$$ \frac{x}{t}+\frac{y}{2t}+\frac{z}{3t}=1 $$

すなわち

$$ x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=t $$

である。

ここで

$$ u=x,\quad v=\frac{y}{2},\quad w=\frac{z}{3} $$

とおくと，直方体 $V$ は

$$ 0\le u\le 1,\quad 0\le v\le 1,\quad 0\le w\le 1 $$

で表される単位立方体に移る。また体積は

$$ dx,dy,dz=6,du,dv,dw $$

となるから，$V_1$ の体積は「単位立方体内で $u+v+w\le t$ を満たす部分の体積」の $6$ 倍である。したがって，まず単位立方体内での切断を考えればよい。

解法1

$V_1$ の体積を $F(t)$ とおく。すると

$$ h(t)=\min{F(t),,6-F(t)} $$

である。なお，直方体 $V$ 全体の体積は

$$ 1\times 2\times 3=6 $$

である。

（1） $0<t\le 1$ のとき

単位立方体内で $u+v+w\le t$ を満たす部分は，原点を頂点とし，座標軸上の 3 点 $(t,0,0)$, $(0,t,0)$, $(0,0,t)$ をもつ四面体である。

その体積は

$$ \frac{1}{6}t^3 $$

だから，もとの直方体での体積は

$$ F(t)=6\cdot \frac{1}{6}t^3=t^3 $$

である。

このとき $0<t\le 1$ では $t^3\le 1<3$ なので，小さい方の体積は $F(t)$ である。よって

$$ h(t)=t^3 $$

となる。

（2） $1\le t\le 2$ のとき

この範囲では，単位立方体内の領域 $u+v+w\le t$ は，四面体

$$ u\ge 0,\ v\ge 0,\ w\ge 0,\ u+v+w\le t $$

から，$u>1$, $v>1$, $w>1$ の部分をそれぞれ取り除いたものになる。

もとの四面体の体積は

$$ \frac{1}{6}t^3 $$

である。また，例えば $u>1$ の部分は $u'=u-1$ とおけば

$$ u'+v+w\le t-1 $$

となる四面体であり，その体積は

$$ \frac{1}{6}(t-1)^3 $$

である。同様のものが 3 個あるから，単位立方体内での体積は

$$ \frac{1}{6}\bigl(t^3-3(t-1)^3\bigr) $$

となる。したがって

$$ F(t)=t^3-3(t-1)^3 $$

である。

（3） $2\le t<3$ のとき

このとき小さい方は原点側ではなく，点 $(1,1,1)$ 側にある部分になる。単位立方体で

$$ p=1-u,\quad q=1-v,\quad r=1-w $$

とおくと，平面 $u+v+w=t$ は

$$ p+q+r=3-t $$

となる。したがって，点 $(1,1,1)$ 側の小さい部分は，辺の長さが $3-t$ の四面体であり，その単位立方体内での体積は

$$ \frac{1}{6}(3-t)^3 $$

である。よって，もとの直方体での小さい方の体積は

$$ h(t)=6\cdot \frac{1}{6}(3-t)^3=(3-t)^3 $$

となる。

（4） $T$ の値

$h(t)$ が両側の体積が等しいときの値であるから，

$$ F(T)=3 $$

を満たす $T$ を求めればよい。

$F(1)=1<3$, $F(2)=5>3$ より $T$ は $1<T<2$ にある。したがって

$$ T^3-3(T-1)^3=3 $$

を解けばよい。

展開すると

$$ T^3-3(T^3-3T^2+3T-1)=3 $$

より

$$ -2T^3+9T^2-9T=0 $$

すなわち

$$ T(2T^2-9T+9)=0 $$

である。$1<T<2$ を満たす解は

$$ T=\frac{3}{2} $$

である。

（5） $t=T$ の左右での $h(t)$

$T=\dfrac{3}{2}$ の近くでは，$t<T$ なら小さい方は $V_1$ 側，$t>T$ なら小さい方は $V_2$ 側である。したがって

$$ h(t)= \begin{cases} t^3-3(t-1)^3 & (t<T),\\ 6-\bigl(t^3-3(t-1)^3\bigr) & (t>T) \end{cases} $$

となる。

まず左側では

$$ h'(t)=3t^2-9(t-1)^2 $$

なので

$$ \lim_{t\to T-0}\frac{h(t)-h(T)}{t-T} =3T^2-9(T-1)^2 $$

である。$T=\dfrac{3}{2}$ を代入すると

$$ 3\cdot \frac{9}{4}-9\cdot \frac{1}{4} =\frac{27}{4}-\frac{9}{4} =\frac{9}{2} $$

となる。

次に右側では

$$ h'(t)=-\bigl(3t^2-9(t-1)^2\bigr) $$

だから

$$ \lim_{t\to T+0}\frac{h(t)-h(T)}{t-T} =-\frac{9}{2} $$

となる。

（6） 微分可能でない点

$h(t)$ は区間ごとに多項式で表されるので，各区間の内部では微分可能である。問題はつなぎ目だけである。

**(i)**

$t=1$ では

左側 $h(t)=t^3$ より $h'(1-0)=3$，

右側 $h(t)=t^3-3(t-1)^3$ より $h'(1+0)=3$。

したがって微分可能である。

**(ii)**

$t=2$ では

左側 $h(t)=6-\bigl(t^3-3(t-1)^3\bigr)$ より

$$ h'(2-0)=-3\cdot 2^2+9\cdot 1^2=-3 $$

右側 $h(t)=(3-t)^3$ より

$$ h'(2+0)=-3(3-2)^2=-3 $$

したがって微分可能である。

**(iii)**

$t=T=\dfrac{3}{2}$ では，左右微分係数が

$$ \frac{9}{2},\quad -\frac{9}{2} $$

と一致しない。したがって微分可能でない。

以上より，$0<t<3$ において $h(t)$ が微分可能でないのは

$$ t=\frac{3}{2} $$

のみである。

解説

この問題の本質は，直方体

$$ 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 2,\quad 0\le z\le 3 $$

を，変数変換

$$ u=x,\quad v=\frac{y}{2},\quad w=\frac{z}{3} $$

によって単位立方体に直すことである。すると平面は $u+v+w=t$ となり，立体の形が非常に見やすくなる。

$0<t\le 1$ と $2\le t<3$ では小さい方は四面体になるので直接求めやすい。一方，$1<t<2$ では単純な四面体ではなくなるため，大きい四面体から 3 個の小さい四面体を引く考え方が有効である。

また，$h(t)$ は「2つの体積のうち小さい方」を取っているため，体積の大小関係が入れ替わる $t=T$ で折れ曲がり，そこだけ微分不可能になる。

答え

$$ \text{(1)}\quad h(t)=t^3 \qquad (0<t\le 1) $$

$$ \text{(2)}\quad h(t)=(3-t)^3 \qquad (2\le t<3) $$

$$ \text{(3)}\quad T=\frac{3}{2} $$

$$ \text{(4)}\quad \lim_{t\to T-0}\frac{h(t)-h(T)}{t-T}=\frac{9}{2} $$

$$ \text{(5)}\quad \lim_{t\to T+0}\frac{h(t)-h(T)}{t-T}=-\frac{9}{2} $$

$$ \text{(6)}\quad h(t)\text{ が微分可能でない }t\text{ は }t=\frac{3}{2}\text{ のみ} $$