解説

方針・初手

条件 $x=\tan^2 y$ と $\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$ から，$y$ は第2象限にある。したがって $\tan y<0$ であり，

$$ \tan y=-\sqrt{x} $$

と表せる。この符号の決定がこの問題の要点である。

そのうえで，（1） は三角比の値から $y$ を決め，（2） は陰関数微分を行ってから $\tan y,\ \sec^2 y$ を $x$ で表せばよい。

解法1

まず

$$ x=\tan^2 y $$

であり，$\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$ だから $\tan y<0$ である。よって

$$ \tan y=-\sqrt{x} $$

が成り立つ。

**(1)**

$x=3$ のとき，

$$ \tan^2 y=3 $$

より

$$ \tan y=-\sqrt{3} $$

である。さらに $\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$ なので，第2象限で $\tan y=-\sqrt{3}$ を満たす角は

$$ y=\frac{2\pi}{3} $$

である。

**(2)**

$x=\tan^2 y$ を $x$ で微分する。

$$ 1=2\tan y\cdot \sec^2 y\cdot \frac{dy}{dx} $$

したがって，

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\tan y,\sec^2 y} $$

となる。ここで

$$ \tan y=-\sqrt{x},\qquad \sec^2 y=1+\tan^2 y=1+x $$

であるから，

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{2(-\sqrt{x})(1+x)} =-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} $$

を得る。

次にこれをさらに $x$ で微分する。

$$ \frac{dy}{dx} =-\frac{1}{2}x^{-1/2}(1+x)^{-1} $$

より，

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(x^{-1/2}(1+x)^{-1}\right) $$

である。積の微分を用いると，

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{-1/2}(1+x)^{-1}\right) =-\frac{1}{2}x^{-3/2}(1+x)^{-1}-x^{-1/2}(1+x)^{-2} $$

したがって，

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{1}{4}x^{-3/2}(1+x)^{-1}+\frac{1}{2}x^{-1/2}(1+x)^{-2} $$

これを通分すると，

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{1+x+2x}{4x^{3/2}(1+x)^2} =\frac{1+3x}{4x^{3/2}(1+x)^2} $$

となる。

解説

この問題では，$\tan^2 y=x$ からただちに $\tan y=\pm\sqrt{x}$ とするだけでは不十分である。条件 $\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$ によって $y$ は第2象限にあるので，$\tan y<0$ が決まり，

$$ \tan y=-\sqrt{x} $$

と符号まで確定する必要がある。

また，$\sec^2 y$ は

$$ \sec^2 y=1+\tan^2 y=1+x $$

と直せるので，微分後の式をすべて $x$ だけで表せる。

答え

**(1)**

$$ y=\frac{2\pi}{3} $$

**(2)**

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} $$

$$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1+3x}{4x^{3/2}(1+x)^2} $$