解説

方針・初手

導関数の定義

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

をそのまま用いて計算する。

$\sqrt{x}$ では有理化，$\cos x$ では加法定理，$\log x$ では対数の性質 $\log(x+h)-\log x=\log\left(1+\frac{h}{x}\right)$ を使うのが基本方針である。

解法1

**(1)**

$f(x)=\sqrt{x}\ (x>0)$ のとき

定義より

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} $$

である。このままでは扱いにくいので分子を有理化する。

$$ \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} $$

したがって

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{x}} $$

となる。

**(2)**

$f(x)=\cos x$ のとき

定義より

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} $$

である。加法定理 $\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h$ を用いると，

$$ \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h} =\cos x\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\frac{\sin h}{h} $$

となる。

ここで

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 $$

は与えられている。また，

$$ \cos h-1=-2\sin^2\frac{h}{2} $$

より

$$ \frac{\cos h-1}{h} =-2\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\frac{(h/2)^2}{h} =-\frac{h}{2}\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2 $$

だから，

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 $$

である。よって

$$ f'(x)=\cos x\cdot 0-\sin x\cdot 1=-\sin x $$

となる。

**(3)**

$f(x)=\log x$ のとき

定義より

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\log(x+h)-\log x}{h} $$

である。対数の性質より

$$ \log(x+h)-\log x=\log\frac{x+h}{x}=\log\left(1+\frac{h}{x}\right) $$

だから，

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log\left(1+\frac{h}{x}\right) $$

となる。ここで $t=\dfrac{h}{x}$ とおくと，$h\to 0$ のとき $t\to 0$ であり，

$$ f'(x)=\frac{1}{x}\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t} $$

を得る。

与えられた極限

$$ \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e $$

の両辺の自然対数をとると，

$$ \lim_{t\to 0}\log\left((1+t)^{1/t}\right)=\log e=1 $$

すなわち

$$ \lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1 $$

である。したがって

$$ f'(x)=\frac{1}{x} $$

となる。

解説

この問題は，公式を覚えているかではなく，導関数の定義から基本関数の微分を導けるかを問う問題である。

$\sqrt{x}$ では有理化が本質であり，$\cos x$ では加法定理によって $\sin h/h$ と $(\cos h-1)/h$ の極限に帰着させるのが定石である。$\log x$ では差を商に直してから $\log(1+t)/t$ の極限へ持ち込むのが重要である。

特に （3） では，いきなり $(\log x)'=1/x$ を使わず，定義から与えられた極限 $\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e$ に結びつける流れを押さえる必要がある。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} $$

**(2)**

$$ f'(x)=-\sin x $$

**(3)**

$$ f'(x)=\frac{1}{x} $$