解説

方針・初手

$x=0$ で極値をとるためには、まず $f'(0)=0$ が必要である。さらに、その極値が $3$ であるから $f(0)=3$ も必要である。これで $a,b$ が定まる。

その後、定まった関数について $f'(x)$ の符号を調べて増減と極値を、$f''(x)$ の符号を調べて凹凸を判定する。

解法1

まず

$$ f(x)=x^2+ax+b+6\log(1+x)\qquad (x>-1) $$

である。

（1） $x=0$ で極値 $3$ をとる条件

$f(0)=3$ より

$$ b=3 $$

である。

次に

$$ f'(x)=2x+a+\frac{6}{1+x} $$

だから、$x=0$ で極値をとるために

$$ f'(0)=a+6=0 $$

すなわち

$$ a=-6 $$

となる。

実際、このとき

$$ f''(x)=2-\frac{6}{(1+x)^2} $$

より

$$ f''(0)=2-6=-4<0 $$

であるから、$x=0$ では極大値をとる。したがって条件を満たす。

よって

$$ a=-6,\qquad b=3 $$

である。

（2） 増減、極値、凹凸

（1） より

$$ f(x)=x^2-6x+3+6\log(1+x)\qquad (x>-1) $$

である。

1. 増減

導関数は

$$ f'(x)=2x-6+\frac{6}{1+x} $$

である。これを通分すると

$$ f'(x)=\frac{(2x-6)(1+x)+6}{1+x} =\frac{2x^2-4x}{1+x} =\frac{2x(x-2)}{1+x} $$

となる。

定義域では $x>-1$ であるから $1+x>0$ であり、$f'(x)$ の符号は $x(x-2)$ の符号で決まる。

したがって、

• $-1<x<0$ では $f'(x)>0$
• $0<x<2$ では $f'(x)<0$
• $x>2$ では $f'(x)>0$

である。

よって、$f(x)$ は

• $-1<x<0$ で増加
• $0<x<2$ で減少
• $x>2$ で増加

する。

したがって、$x=0$ で極大、$x=2$ で極小をとる。

極値は

$$ f(0)=3 $$

$$ f(2)=4-12+3+6\log 3=-5+6\log 3 $$

である。

ゆえに、

• 極大値は $3$（$x=0$）
• 極小値は $-5+6\log 3$（$x=2$）

である。

2. 凹凸

2次導関数は

$$ f''(x)=2-\frac{6}{(1+x)^2} $$

である。これを整理すると

$$ f''(x)=\frac{2(1+x)^2-6}{(1+x)^2} =\frac{2\bigl((1+x)^2-3\bigr)}{(1+x)^2} $$

となる。

分母は正であるから、符号は $(1+x)^2-3$ で決まる。よって

$$ (1+x)^2-3=0 $$

より

$$ x=-1\pm \sqrt{3} $$

を得るが、定義域 $x>-1$ では

$$ x=-1+\sqrt{3} $$

のみが関係する。

したがって、

• $-1<x<-1+\sqrt{3}$ では $f''(x)<0$
• $x>-1+\sqrt{3}$ では $f''(x)>0$

である。

ゆえに、グラフは

• $-1<x<-1+\sqrt{3}$ で上に凸
• $x>-1+\sqrt{3}$ で下に凸

となる。

変曲点は

$$ x=-1+\sqrt{3} $$

であり、そのとき

$$ f(-1+\sqrt{3}) =(-1+\sqrt{3})^2-6(-1+\sqrt{3})+3+6\log \sqrt{3} $$

$$ = (4-2\sqrt{3})+(6-6\sqrt{3})+3+6\log \sqrt{3} $$

$$ =13-8\sqrt{3}+3\log 3 $$

である。

したがって変曲点は

$$ \left(-1+\sqrt{3},\ 13-8\sqrt{3}+3\log 3\right) $$

である。

3. 端の様子

$x\to -1+0$ のとき、$\log(1+x)\to -\infty$ だから

$$ f(x)\to -\infty $$

である。

また、$x\to \infty$ のときは $x^2$ が支配的であるから

$$ f(x)\to \infty $$

である。

以上より、グラフは左端で $-\infty$ から出発し、増加して $(0,3)$ で極大、その後減少し、途中 $x=-1+\sqrt{3}$ で変曲し、$(2,-5+6\log 3)$ で極小をとった後、再び増加していく形になる。

解説

この問題の要点は、極値条件を「その点での関数値」と「その点での導関数」の2本で押さえることである。すなわち、極値が $3$ という条件から $f(0)=3$、極値をとる点であることから $f'(0)=0$ を使えばよい。

その後は、$f'(x)$ をきれいに因数分解できることが重要である。

$$ f'(x)=\frac{2x(x-2)}{1+x} $$

となるので、定義域 $x>-1$ では分母が常に正であり、符号判定が容易になる。また、凹凸は $f''(x)$ の符号変化を見ればよく、変曲点も素直に求まる。対数関数が入っていても、微分後は有理式になって整理しやすい典型題である。

答え

**(1)**

$$ a=-6,\qquad b=3 $$

**(2)**

$$ f(x)=x^2-6x+3+6\log(1+x)\qquad (x>-1) $$

増減は

$-1<x<0$ で増加

$0<x<2$ で減少

$x>2$ で増加

である。

極値は

$x=0$ で極大値 $3$

$x=2$ で極小値 $-5+6\log 3$

である。

凹凸は

$-1<x<-1+\sqrt{3}$ で上に凸

$x>-1+\sqrt{3}$ で下に凸

であり、変曲点は

$$ \left(-1+\sqrt{3},\ 13-8\sqrt{3}+3\log 3\right) $$

である。