解説

方針・初手

$(1,0)$ を通ることから、まず $(x-\beta)^n$ の零点を用いて $\beta$ を確定する。そのあと $(0,e)$、$(-1,\frac{16}{e})$ を代入して $\alpha,\gamma,n$ の関係式を作る。

さらに $x=-1$ で極大になるので、微分して $x=-1$ が停留点になる条件を使えば、$\gamma$ と $n$ の関係が決まる。

解法1

与えられた関数は

$$ y=\alpha (x-\beta)^n e^{\gamma x} $$

である。

まず、グラフが $(1,0)$ を通るので、

$$ 0=\alpha(1-\beta)^n e^\gamma $$

である。$e^\gamma \neq 0$ であり、また $\alpha=0$ なら全体が $0$ となって $(0,e)$ を通れないから、

$$ 1-\beta=0 $$

すなわち

$$ \beta=1 $$

である。

したがって

$$ y=\alpha (x-1)^n e^{\gamma x} $$

となる。

次に $(0,e)$ を通ることより、

$$ e=\alpha(-1)^n $$

である。よって

$$ \alpha=e(-1)^n $$

を得る。

また $(-1,\frac{16}{e})$ を通るので、

$$ \frac{16}{e} =\alpha(-2)^n e^{-\gamma} =e(-1)^n(-2)^n e^{-\gamma} =e\cdot 2^n e^{-\gamma} =2^n e^{1-\gamma} $$

である。したがって

$$ 2^n e^{2-\gamma}=16 $$

を得る。

次に、$x=-1$ で極大になるので、$x=-1$ は停留点である。$x\neq 1$ で

$$ y'=\alpha e^{\gamma x}(x-1)^{n-1}{n+\gamma(x-1)} $$

となるから、$x=-1$ で $y'=0$ より

$$ n+\gamma(-2)=0 $$

すなわち

$$ n=2\gamma \qquad\text{または}\qquad \gamma=\frac n2 $$

である。

これを

$$ 2^n e^{2-\gamma}=16 $$

に代入すると、

$$ 2^n e^{2-\frac n2}=16=2^4 $$

となる。

左辺に $e$ の因子が含まれずに $2$ のべきだけになるためには

$$ 2-\frac n2=0 $$

でなければならない。よって

$$ n=4 $$

であり、したがって

$$ \gamma=\frac n2=2 $$

である。

最後に

$$ \alpha=e(-1)^4=e $$

より

$$ \alpha=e $$

となる。

以上より

$$ y=e(x-1)^4 e^{2x} $$

である。

実際、

$$ y'=e^{2x+1}\left\{4(x-1)^3+2(x-1)^4\right\} =2e^{2x+1}(x-1)^3(x+1) $$

であるから、$x=-1$ の前後で $y'$ の符号は

• $x<-1$ で正
• $-1<x<1$ で負

となり、確かに $x=-1$ で極大になる。

解説

$(1,0)$ を通る条件から $\beta=1$ を即座に決めるのが第一歩である。

そのうえで、通る点の条件は値の情報、極大の条件は微分の情報であると整理すると、未知数を順に潰せる。特に、指数関数部分 $e^{\gamma x}$ は常に正であるため、零点や符号の議論では $(x-1)^n$ のほうが本質になる。

答え

$$ \alpha=e,\qquad \beta=1,\qquad \gamma=2,\qquad n=4 $$