解説

方針・初手

接線の方程式を立てて、その接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を求めれば $f(t)$ が定まる。 その後、$\dfrac{f(t)}{t}$ を整理して極限と増減を調べる。増減は微分して符号を判定する。

解法1

曲線 $y=1-\cos x$ の導関数は

$$ y'=\sin x $$

である。したがって、点 $(t,1-\cos t)$ における接線の方程式は

$$ y-(1-\cos t)=\sin t,(x-t) $$

である。

この接線が $x$ 軸と交わる点では $y=0$ だから、

$$ -(1-\cos t)=\sin t,(x-t) $$

となる。よって、その交点の $x$ 座標 $f(t)$ は

$$ f(t)=t-\frac{1-\cos t}{\sin t} $$

である。

さらに半角公式を用いると、

$$ \frac{1-\cos t}{\sin t} =\frac{2\sin^2 \frac{t}{2}}{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}} =\tan \frac{t}{2} $$

であるから、

$$ f(t)=t-\tan \frac{t}{2} $$

を得る。これで （1） は求まった。

次に （2） を求める。

$$ \frac{f(t)}{t} =1-\frac{\tan \frac{t}{2}}{t} $$

である。ここで $u=\dfrac{t}{2}$ とおくと

$$ \frac{\tan \frac{t}{2}}{t} =\frac{1}{2}\cdot \frac{\tan u}{u} $$

となるので、$\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1$ より

$$ \lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t} =1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2} $$

である。

最後に （3） を調べる。 $g(t)=\dfrac{f(t)}{t}$ とおくと

$$ g(t)=1-\frac{\tan \frac{t}{2}}{t} $$

であるから、

$$ g'(t) =-\frac{\frac{1}{2}t\sec^2\frac{t}{2}-\tan\frac{t}{2}}{t^2} $$

となる。分子を整理すると、

$$ \frac{1}{2}t\sec^2\frac{t}{2}-\tan\frac{t}{2} =\frac{t-2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\cos^2\frac{t}{2}} =\frac{t-\sin t}{2\cos^2\frac{t}{2}} $$

であるから、

$$ g'(t) =-\frac{t-\sin t}{2t^2\cos^2\frac{t}{2}} $$

を得る。

ここで、$-\pi<t<\pi,\ t\neq 0$ では

$$ 2t^2\cos^2\frac{t}{2}>0 $$

である。したがって、$g'(t)$ の符号は $-(t-\sin t)$ の符号で決まる。

そこで

$$ h(t)=t-\sin t $$

とおくと、

$$ h'(t)=1-\cos t $$

である。$-\pi<t<\pi$ において $h'(t)\geqq 0$ であり、しかも $h(0)=0$ だから、

• $-\pi<t<0$ では $h(t)<0$
• $0<t<\pi$ では $h(t)>0$

となる。

よって、

• $-\pi<t<0$ では $g'(t)>0$
• $0<t<\pi$ では $g'(t)<0$

である。したがって、

$$ \frac{f(t)}{t} $$

は $(-\pi,0)$ で増加し、$(0,\pi)$ で減少する。

解説

この問題の要点は、まず接線の方程式を正確に立てることである。 $f(t)$ を

$$ f(t)=t-\frac{1-\cos t}{\sin t} $$

まで求めたあと、半角公式で

$$ f(t)=t-\tan\frac{t}{2} $$

と変形しておくと、その後の極限や微分計算がかなり見通しよくなる。

また、増減の判定では

$$ \left(\frac{f(t)}{t}\right)' =-\frac{t-\sin t}{2t^2\cos^2\frac{t}{2}} $$

まで整理するのが重要である。分母は常に正なので、結局 $t-\sin t$ の符号だけを見ればよい。ここで $t-\sin t$ の導関数が $1-\cos t$ になることに気づけば、符号判定は容易である。

答え

**(1)**

$$ f(t)=t-\frac{1-\cos t}{\sin t}=t-\tan\frac{t}{2} $$

**(2)**

$$ \lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t}=\frac{1}{2} $$

**(3)**

$$ \frac{f(t)}{t} $$

は

$-\pi<t<0$ で増加

$0<t<\pi$ で減少

である。