解説

方針・初手

$y=x e^{f(x)}$ 型の関数は、指数関数部分 $e^{f(x)}$ が常に正であることを使うと微分後の符号判定がしやすい。

したがって、まず

$$ \frac{d}{dx}\left(xe^{f(x)}\right) $$

を計算し、導関数の符号がどのような条件で変化するかを調べればよい。

解法1

**(1)**

$y=xe^{-x^2+x}$ の極値を求める。

$f(x)=-x^2+x$ とみると、

$$ y'=e^{-x^2+x}+x e^{-x^2+x}(-2x+1) $$

であるから、

$$ y'=e^{-x^2+x}{1+x(-2x+1)} =e^{-x^2+x}(-2x^2+x+1) $$

となる。

ここで $e^{-x^2+x}>0$ であるから、$y'$ の符号は

$$ -2x^2+x+1 $$

の符号で決まる。よって極値を与える点は

$$ -2x^2+x+1=0 $$

を解けばよい。

$$ 2x^2-x-1=0 $$

より、

$$ x=1,\ -\frac12 $$

を得る。

さらに

$$ -2x^2+x+1=-(2x+1)(x-1) $$

であるから、符号は

• $x<-\frac12$ で負
• $-\frac12<x<1$ で正
• $x>1$ で負

となる。

したがって、

• $x=-\frac12$ で極小
• $x=1$ で極大

である。

それぞれの値は

$$ y\left(-\frac12\right) =-\frac12 e^{-(-1/2)^2+(-1/2)} =-\frac12 e^{-3/4} $$

$$ y(1)=1\cdot e^{-1+1}=1 $$

である。

よって、極小値は $-\dfrac12 e^{-3/4}$、極大値は $1$ である。

**(2)**

$f(x)=ax^2+bx+c$ に対して

$$ F(x)=xe^{f(x)} $$

とおく。

このとき

$$ F'(x)=e^{f(x)}+x e^{f(x)}f'(x) =e^{f(x)}{1+xf'(x)} $$

であり、$f'(x)=2ax+b$ だから

$$ F'(x)=e^{f(x)}(2ax^2+bx+1) $$

となる。

ここでも $e^{f(x)}>0$ であるから、$F'(x)$ の符号は

$$ 2ax^2+bx+1 $$

の符号で決まる。

$y=F(x)$ が極値をもつためには、$F'(x)$ がある点で符号を変えればよい。したがって、$2ax^2+bx+1$ が実数解をもち、しかもその解で符号が変化することが必要十分である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$a\neq 0$ のとき

$2ax^2+bx+1$ は2次式であり、符号が変化するためには異なる2実根をもつことが必要十分である。よって判別式を用いて

$$ b^2-8a>0 $$

が条件である。

**(ii)**

$a=0$ のとき

$$ F'(x)=e^{bx+c}(bx+1) $$

となる。$e^{bx+c}>0$ なので、$bx+1$ が符号変化すればよい。

• $b\neq 0$ なら $bx+1=0$ は1実根をもち、その点で符号が変化するので極値をもつ。
• $b=0$ なら $F'(x)=e^c>0$ となり、極値をもたない。

以上より、極値をもつための条件は

$$ \boxed{,a\neq 0\ \text{かつ}\ b^2-8a>0,} \quad\text{または}\quad \boxed{,a=0,\ b\neq 0,} $$

である。

なお、$c$ は導関数の符号に影響しないので条件に関係しない。

解説

この問題の要点は、$xe^{f(x)}$ を微分したときに指数関数部分 $e^{f(x)}$ が常に正であるため、極値の有無が多項式

$$ 1+xf'(x) $$

の符号変化だけで決まることである。

（1） はその具体例であり、（2） は同じ構造を一般化したものである。特に （2） では、単に $F'(x)=0$ となるだけでは不十分で、導関数の符号が実際に変化することまで確認する必要がある。したがって、2次式なら判別式が正、1次式なら係数が $0$ でないことが本質である。

答え

**(1)**

極小値は

$$ -\frac12 e^{-3/4} $$

であり、そのとき $x=-\dfrac12$ である。

極大値は

$$ 1 $$

であり、そのとき $x=1$ である。

**(2)**

$y=F(x)=xe^{f(x)}$ が極値をもつための条件は

$$ \boxed{,a\neq 0\ \text{かつ}\ b^2-8a>0,} \quad\text{または}\quad \boxed{,a=0,\ b\neq 0,} $$

である。

$c$ には条件はない。