解説

方針・初手

まず条件 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-3,\ f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$ をそのまま代入して $a,b$ を決める。

その後、

$$ f(x)=\cos 4x-\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\sin x =\cos 4x-2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) $$

と変形する。

さらに $t=x-\frac{\pi}{4}$ とおくと扱いやすくなり、極小と極大の検討は $\cos t$ の式に直して進めればよい。

解法1

**(1)**

$a,b$ を求める。

$$ f(x)=\cos 4x+a\cos x+b\sin x $$

より、

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) =\cos\pi+a\cos\frac{\pi}{4}+b\sin\frac{\pi}{4} =-1+\frac{a+b}{\sqrt{2}} $$

これが $-3$ に等しいから、

$$ -1+\frac{a+b}{\sqrt{2}}=-3 $$

$$ a+b=-2\sqrt{2} $$

また、

$$ f'(x)=-4\sin 4x-a\sin x+b\cos x $$

であるから、

$$ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) =-4\sin\pi-a\sin\frac{\pi}{4}+b\cos\frac{\pi}{4} =\frac{-a+b}{\sqrt{2}} $$

これが $0$ に等しいので、

$$ -a+b=0 $$

$$ a=b $$

したがって、

$$ a=b=-\sqrt{2} $$

である。

---

**(2)**

$x=\frac{\pi}{4}$ で極小になることを示す。

（1） より

$$ f(x)=\cos 4x-\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\sin x =\cos 4x-2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) $$

と書ける。

ここで

$$ t=x-\frac{\pi}{4},\qquad c=\cos t $$

とおくと、

$$ \cos 4x=\cos(4t+\pi)=-\cos 4t $$

より

$$ f(x)=-\cos 4t-2\cos t $$

さらに

$$ \cos 4t=8c^4-8c^2+1 $$

であるから、

$$ f(x)=-8c^4+8c^2-2c-1 $$

したがって

$$ f(x)+3=-8c^4+8c^2-2c+2 = -2(c-1)(4c^3+4c^2+1) =2(1-c)(4c^3+4c^2+1) $$

ここで $-1\leqq c\leqq 1$ である。

また

$$ g(c)=4c^3+4c^2+1 $$

とおくと、

$$ g'(c)=12c^2+8c=4c(3c+2) $$

より、$[-1,1]$ における最小値は $c=-1,\ -\frac{2}{3},\ 1$ を調べればよい。

$$ g(-1)=1,\qquad g\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{43}{27},\qquad g(1)=9 $$

よって $g(c)>0$ である。したがって

$$ f(x)+3=2(1-c)(4c^3+4c^2+1)\geqq 0 $$

すなわち

$$ f(x)\geqq -3 $$

である。等号成立は $1-c=0$、すなわち $c=1$ のときである。

$c=\cos t=1$ より $t=0$、したがって $x=\frac{\pi}{4}$ で

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-3 $$

となるから、$x=\frac{\pi}{4}$ で極小になる。実際にはここで最小値 $-3$ をとる。

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**(3)**

$0\leqq x\leqq 2\pi$ における極大値を求める。

再び

$$ t=x-\frac{\pi}{4} $$

とおき、

$$ u=2\cos t $$

とおくと、$-2\leqq u\leqq 2$ であり、

$$ f(x)=-\cos 4t-2\cos t $$

に対して

$$ \cos t=\frac{u}{2} $$

を用いると

$$ f(x)= -\frac{1}{2}u^4+2u^2-u-1 $$

となる。これを

$$ P(u)=-\frac{1}{2}u^4+2u^2-u-1 $$

とおく。

すると

$$ P'(u)=-2u^3+4u-1 $$

であるから、極値は

$$ 2u^3-4u+1=0 $$

の解で与えられる。

この三次方程式を解くために

$$ u=2\sqrt{\frac{2}{3}}\cos\theta $$

とおくと、

$$ 2u^3-4u =\frac{8\sqrt{6}}{9}\cos 3\theta $$

となるので、

$$ \frac{8\sqrt{6}}{9}\cos 3\theta+1=0 $$

すなわち

$$ \cos 3\theta=-\frac{3\sqrt{6}}{16} $$

である。

よって $2u^3-4u+1=0$ の3解は

$$ u_k= 2\sqrt{\frac{2}{3}} \cos\left( \frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{3\sqrt{6}}{16}\right) +\frac{2k\pi}{3} \right) \qquad (k=0,1,2) $$

で与えられる。

このうち $(-2,-1)$ にある解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha= 2\sqrt{\frac{2}{3}} \cos\left( \frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{3\sqrt{6}}{16}\right) +\frac{2\pi}{3} \right) $$

である。

$P(-2)=1$ であり、$P'(u)$ の符号は $u=\alpha$ で $+$ から $-$ に変わるから、$u=\alpha$ で極大となる。したがって求める極大値は $P(\alpha)$ である。

さらに、$\alpha$ は

$$ 2\alpha^3-4\alpha+1=0 $$

を満たすので

$$ \alpha^3=2\alpha-\frac{1}{2},\qquad \alpha^4=2\alpha^2-\frac{\alpha}{2} $$

となる。これを $P(\alpha)$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} P(\alpha) &= -\frac{1}{2}\left(2\alpha^2-\frac{\alpha}{2}\right) +2\alpha^2-\alpha-1 =\alpha^2-\frac{3}{4}\alpha-1 \end{aligned} $$

よって極大値は

$$ \alpha^2-\frac{3}{4}\alpha-1 $$

である。

数値で書けば

$$ \alpha\approx -1.525687 $$

より、

$$ \max f(x)\approx 2.471987 $$

となる。

解説

この問題の本質は、与えられた条件から $a,b$ をまず確定し、その後に式を

$$ f(x)=\cos 4x-2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) $$

の形へ整理することにある。

（2） では $x-\frac{\pi}{4}$ を1つの文字でまとめ、$\cos$ の多倍角公式で $\cos t$ の多項式に落とすと、$f(x)+3$ がきれいに因数分解できる。これにより $x=\frac{\pi}{4}$ が単なる停留点ではなく、実際に最小値を与える点だと分かる。

（3） では $u=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ とおくことで、三角関数の最大化が4次式 $P(u)$ の最大化に変わる。最終的には三次方程式 $2u^3-4u+1=0$ を解く必要があり、ここで三角置換が有効である。

答え

**(1)**

$$ a=b=-\sqrt{2} $$

**(2)**

$$ x=\frac{\pi}{4} $$

で極小となり、そのときの値は

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-3 $$

である。

**(3)**

$0\leqq x\leqq 2\pi$ における極大値は、$\alpha$ を

$$ 2\alpha^3-4\alpha+1=0,\qquad \alpha\in(-2,-1) $$

を満たす解とすると

$$ \alpha^2-\frac{3}{4}\alpha-1 $$

である。

ただし

$$ \alpha= 2\sqrt{\frac{2}{3}} \cos\left( \frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{3\sqrt{6}}{16}\right) +\frac{2\pi}{3} \right) $$

であるから、極大値は

$$ \alpha^2-\frac{3}{4}\alpha-1\approx 2.471987 $$

である。