解説

方針・初手

まず分式を整式の除法で整理し、$f(x)$ を

$$ f(x)=\left|2x+3+\frac{2}{x-1}\right| $$

の形に直す。 すると、$x=1$ の近くでの振る舞いと、$x\to\pm\infty$ での振る舞いが見やすくなる。

絶対値があるため、特に $x\to-\infty$ では符号に注意して外す必要がある。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\left|\frac{2x^2+x-1}{x-1}\right| $$

である。ここで分子を $(x-1)$ で割ると

$$ 2x^2+x-1=(x-1)(2x+3)+2 $$

であるから、

$$ \frac{2x^2+x-1}{x-1}=2x+3+\frac{2}{x-1} $$

となる。したがって

$$ f(x)=\left|2x+3+\frac{2}{x-1}\right| $$

である。

（i） 垂直漸近線

$x\to1$ のとき、$\dfrac{2}{x-1}$ が発散するので、

$$ \left|2x+3+\frac{2}{x-1}\right|\to\infty $$

である。実際、

$$ \lim_{x\to1-0}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to1+0}f(x)=+\infty $$

となるから、$x=1$ は垂直漸近線である。

（ii） $x\to+\infty$ のとき

$x$ が十分大きいとき

$$ 2x+3+\frac{2}{x-1}>0 $$

であるから、絶対値を外して

$$ f(x)=2x+3+\frac{2}{x-1} $$

となる。よって

$$ f(x)-(2x+3)=\frac{2}{x-1}\to0 \qquad (x\to+\infty) $$

である。

したがって、$x\to+\infty$ における漸近線は

$$ y=2x+3 $$

である。

（iii） $x\to-\infty$ のとき

$x$ が十分小さいときは $2x+3$ が負であり、$\dfrac{2}{x-1}$ も 0 に近い負の数であるから、

$$ 2x+3+\frac{2}{x-1}<0 $$

となる。したがって

$$ f(x)=-\left(2x+3+\frac{2}{x-1}\right) =-2x-3-\frac{2}{x-1} $$

である。ゆえに

$$ f(x)-(-2x-3)=-\frac{2}{x-1}\to0 \qquad (x\to-\infty) $$

となる。

したがって、$x\to-\infty$ における漸近線は

$$ y=-2x-3 $$

である。

解説

この問題の要点は、まず整式の除法で

$$ \frac{2x^2+x-1}{x-1}=2x+3+\frac{2}{x-1} $$

と直すことである。これにより、$x=1$ では $\dfrac{2}{x-1}$ の項が支配的になるため垂直漸近線がただちに分かる。

また、絶対値があるため、$x\to+\infty$ と $x\to-\infty$ で符号が変わることが重要である。 このため、右側では $y=2x+3$、左側ではその符号を反転した $y=-2x-3$ が斜漸近線になる。

答え

漸近線は

$$ x=1,\qquad y=2x+3,\qquad y=-2x-3 $$

である。