解説

方針・初手

分子・分母に $e^x,\ e^{-x}$ が現れているので，双曲線関数でまとめると微分しやすい。

$$ e^x-e^{-x}=2\sinh x,\qquad e^x+e^{-x}=2\cosh x $$

を用いると，

$$ f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{(e^x+e^{-x})^2} =\frac{2\sinh x}{(2\cosh x)^2} =\frac12\cdot\frac{\sinh x}{\cosh^2 x} $$

となる。これを微分して増減を調べればよい。

解法1

$$ f(x)=\frac12,\sinh x,\cosh^{-2}x $$

より，

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac12\left(\cosh x\cdot \cosh^{-2}x+\sinh x\cdot(-2)\cosh^{-3}x\cdot\sinh x\right) \\ &=\frac12\left(\frac{1}{\cosh x}-\frac{2\sinh^2 x}{\cosh^3 x}\right) \\ &=\frac12\cdot\frac{\cosh^2 x-2\sinh^2 x}{\cosh^3 x}. \end{aligned} $$

ここで $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$ を用いると，

$$ \cosh^2 x-2\sinh^2 x=1-\sinh^2 x $$

であるから，

$$ f'(x)=\frac12\cdot\frac{1-\sinh^2 x}{\cosh^3 x}. $$

$\cosh x>0$ であるから，$f'(x)$ の符号は $1-\sinh^2 x$ の符号で決まる。

したがって，臨界点は

$$ 1-\sinh^2 x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sinh x=\pm 1 $$

を満たす $x$ である。

$\sinh x=1$ のとき

$$ x=\log(1+\sqrt2) $$

であり，$\sinh x=-1$ のとき

$$ x=-\log(1+\sqrt2) $$

である。

ここで $\sinh x$ は単調増加であるから，

• $x<-\log(1+\sqrt2)$ では $\sinh x<-1$ より $f'(x)<0$
• $-\log(1+\sqrt2)<x<\log(1+\sqrt2)$ では $|\sinh x|<1$ より $f'(x)>0$
• $x>\log(1+\sqrt2)$ では $\sinh x>1$ より $f'(x)<0$

となる。

よって，

• $x=-\log(1+\sqrt2)$ で極小
• $x=\log(1+\sqrt2)$ で極大

をとる。

次にその値を求める。

**(i)**

$x=\log(1+\sqrt2)$ のとき，$\sinh x=1,\ \cosh x=\sqrt2$ であるから，

$$ f(x)=\frac12\cdot\frac{1}{(\sqrt2)^2}=\frac14. $$

**(ii)**

$x=-\log(1+\sqrt2)$ のとき，$\sinh x=-1,\ \cosh x=\sqrt2$ であるから，

$$ f(x)=\frac12\cdot\frac{-1}{(\sqrt2)^2}=-\frac14. $$

したがって，極大値は $\dfrac14$，極小値は $-\dfrac14$ である。

解説

この問題では，指数関数のまま計算を進めるよりも，

$$ e^x-e^{-x}=2\sinh x,\qquad e^x+e^{-x}=2\cosh x $$

と見て整理するのが有効である。すると微分後の符号判定が

$$ 1-\sinh^2 x $$

の符号を見るだけになり，極値の位置も値も簡潔に求められる。

また，$\sinh x=\pm1$ のとき $\cosh^2 x=1+\sinh^2 x=2$ となるので，極値の計算もすぐに終わる。

答え

極小値は

$$ -\frac14 $$

であり，そのとき

$$ x=-\log(1+\sqrt2) $$

である。

極大値は

$$ \frac14 $$

であり，そのとき

$$ x=\log(1+\sqrt2) $$

である。