解説

方針・初手

点対称を示すには、関数値の関係を調べるのが最も直接的である。

原点に関して点対称であることは $f(-x)=-f(x)$ を示せばよい。また、点 $(p,q)$ に関して点対称であることは

$$ f(p+t)+f(p-t)=2q $$

を示せばよい。

（2） では、まず変曲点を求め、その点を中心として上の関係を確かめる。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=\log \frac{x+1}{1-x}\qquad (-1<x<1) $$

とおく。

このとき、$-1<x<1$ ならば $-1<-x<1$ でもあるから、

$$ f(-x)=\log \frac{1-x}{1+x} =\log \left(\frac{x+1}{1-x}\right)^{-1} =-\log \frac{x+1}{1-x} =-f(x) $$

となる。

よって、任意の $x$ に対して $f(-x)=-f(x)$ が成り立つので、グラフは原点に関して点対称である。

**(2)**

$$ g(x)=\log \frac{x-a}{b-x}\qquad (a<x<b) $$

とおく。

まず変曲点を求める。

$$ g(x)=\log (x-a)-\log (b-x) $$

より、

$$ g'(x)=\frac{1}{\log_e 10}\left(\frac{1}{x-a}+\frac{1}{b-x}\right) $$

さらに、

$$ g''(x)=\frac{1}{\log_e 10}\left(-\frac{1}{(x-a)^2}+\frac{1}{(b-x)^2}\right) $$

となる。

したがって $g''(x)=0$ は

$$ -\frac{1}{(x-a)^2}+\frac{1}{(b-x)^2}=0 $$

すなわち

$$ (x-a)^2=(b-x)^2 $$

である。ここで $a<x<b$ より $x-a>0,\ b-x>0$ であるから、

$$ x-a=b-x $$

となり、

$$ x=\frac{a+b}{2} $$

を得る。

また、$x<\dfrac{a+b}{2}$ では $x-a<b-x$ であるから

$$ \frac{1}{(x-a)^2}>\frac{1}{(b-x)^2} $$

となり、$g''(x)<0$ である。反対に、$x>\dfrac{a+b}{2}$ では $g''(x)>0$ である。よって

$$ \left(\frac{a+b}{2},\ g\left(\frac{a+b}{2}\right)\right) $$

は変曲点である。

ここで

$$ g\left(\frac{a+b}{2}\right) =\log \frac{\frac{a+b}{2}-a}{,b-\frac{a+b}{2},} =\log \frac{\frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2}} =\log 1 =0 $$

より、変曲点は

$$ \left(\frac{a+b}{2},,0\right) $$

である。

次に、この点に関する点対称性を示す。$|t|<\dfrac{b-a}{2}$ とすると、

$$ g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) =\log \frac{\frac{b-a}{2}+t}{\frac{b-a}{2}-t} $$

であり、

$$ g\left(\frac{a+b}{2}-t\right) =\log \frac{\frac{b-a}{2}-t}{\frac{b-a}{2}+t} =-\log \frac{\frac{b-a}{2}+t}{\frac{b-a}{2}-t} =-g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) $$

となる。

したがって、

$$ g\left(\frac{a+b}{2}+t\right)+g\left(\frac{a+b}{2}-t\right)=0 $$

が任意の $t$ について成り立つので、グラフは

$$ \left(\frac{a+b}{2},,0\right) $$

に関して点対称である。これはちょうど変曲点である。

解説

（1） は $f(-x)=-f(x)$ を示すだけで十分であり、奇関数であることがそのまま原点対称を意味する。

（2） は （1） を平行移動・拡大縮小した形になっており、中心が区間 $(a,b)$ の中点 $\dfrac{a+b}{2}$ に現れる。まずその点が変曲点であることを微分で確認し、その後で

$$ g\left(\frac{a+b}{2}+t\right)=-g\left(\frac{a+b}{2}-t\right) $$

を示せば、点対称性が明確になる。

答え

**(1)**

$$ f(-x)=-f(x) $$

が成り立つので、グラフは原点に関して点対称である。

**(2)**

変曲点は

$$ \left(\frac{a+b}{2},,0\right) $$

であり、さらに

$$ g\left(\frac{a+b}{2}+t\right)=-g\left(\frac{a+b}{2}-t\right) $$

が成り立つので、グラフはその変曲点に関して点対称である。