解説

方針・初手

極値は $f'(x)=0$ を解けばよい。$f'(x)$ を $\cos x$ の式に直すと2次方程式になるので、まず極値をとるときの $\cos x$ を求める。

さらに、そのときの $\sin x$ の符号で極大・極小を判定する。極値をとる点では $\cos x$ が一定になるため、$y-x=-4\sin x-\dfrac12\sin 2x$ も極大点どうし、極小点どうしでそれぞれ一定となり、同一直線上にあることが分かる。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=x-4\sin x-\frac12\sin 2x $$

である。

まず微分すると

$$ f'(x)=1-4\cos x-\cos 2x $$

となる。ここで $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ を用いると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=1-4\cos x-(2\cos^2 x-1)\\ &=2-4\cos x-2\cos^2 x \end{aligned} $$

である。したがって $f'(x)=0$ は

$$ 2-4\cos x-2\cos^2 x=0 $$

すなわち

$$ \cos^2 x+2\cos x-1=0 $$

となる。

これを $\cos x$ について解くと

$$ \cos x=-1\pm \sqrt2 $$

を得るが、$\cos x$ の値は $-1\leqq \cos x\leqq 1$ であるから、許されるのは

$$ \cos x=\sqrt2-1 $$

のみである。

よって、（1） の答えは

$$ \cos x=\sqrt2-1 $$

である。

次に、極大点と極小点を調べる。2階微分すると

$$ \begin{aligned} f''(x) &=4\sin x+2\sin 2x\\ &=4\sin x(1+\cos x) \end{aligned} $$

となる。

極値をとる点では $\cos x=\sqrt2-1$ であるから、

$$ 1+\cos x=1+(\sqrt2-1)=\sqrt2>0 $$

である。したがって、このとき $f''(x)$ の符号は $\sin x$ の符号と一致する。

ゆえに、

**(i)**

$\sin x>0$ のとき $f''(x)>0$ であり極小点

**(ii)**

$\sin x<0$ のとき $f''(x)<0$ であり極大点

である。

ここで

$$ \cos x=\sqrt2-1 $$

より

$$ \begin{aligned} \sin^2 x &=1-\cos^2 x\\ &=1-(\sqrt2-1)^2\\ &=1-(3-2\sqrt2)\\ &=2\sqrt2-2 \end{aligned} $$

だから、

$$ |\sin x|=\sqrt{2\sqrt2-2} $$

である。

以下、$s=\sqrt{2\sqrt2-2}$ とおく。

極小点

極小点では $\sin x=s$ であり、$\cos x=\sqrt2-1$ であるから、

$$ \begin{aligned} y &=f(x)\\ &=x-4\sin x-\frac12\sin 2x\\ &=x-4s-sc \end{aligned} $$

ただし $c=\sqrt2-1$ である。したがって

$$ \begin{aligned} y &=x-(4+\sqrt2-1)s\\ &=x-(3+\sqrt2)s \end{aligned} $$

となる。よって、すべての極小点は

$$ y=x-(3+\sqrt2)\sqrt{2\sqrt2-2} $$

上にある。

極大点

極大点では $\sin x=-s$ であり、$\cos x=\sqrt2-1$ であるから、

$$ \begin{aligned} y &=x-4(-s)-\frac12\cdot 2(-s)(\sqrt2-1)\\ &=x+4s+(\sqrt2-1)s\\ &=x+(3+\sqrt2)s \end{aligned} $$

となる。したがって、すべての極大点は

$$ y=x+(3+\sqrt2)\sqrt{2\sqrt2-2} $$

上にある。

以上より、極大点群・極小点群はそれぞれ同一直線上にあり、その方程式は上の2本である。

解説

この問題の要点は、$f'(x)$ を $\cos x$ の2次方程式に落とすことである。ここで極値をとるときの $\cos x$ がただ1つに定まる。

すると、極値をとる点では $\cos x$ が一定であり、さらに極大と極小では $\sin x$ の符号だけが異なる。したがって

$$ y-x=-4\sin x-\frac12\sin 2x $$

は極大点では一定、極小点でも一定となる。これが「それぞれ同一直線上にある」理由である。

答え

**(1)**

$$ \cos x=\sqrt2-1 $$

**(2)**

極大点は

$$ y=x+(3+\sqrt2)\sqrt{2\sqrt2-2} $$

上にあり、極小点は

$$ y=x-(3+\sqrt2)\sqrt{2\sqrt2-2} $$

上にある。