解説

方針・初手

増加関数であるための条件は、区間内で $f'(x)>0$ が成り立つことである。

したがって、まず $f(x)$ を微分し、$a$ に関する条件へ落とし込む。その後、その条件をすべての $x\in(0,\pi/2]$ で満たすために必要な $a$ の最大値を調べればよい。

解法1

$$ f(x)=\frac{a-\cos x}{x^2} $$

より、商の微分法を用いると

$$ f'(x)=\frac{x^2\sin x-2x(a-\cos x)}{x^4} =\frac{x\sin x-2a+2\cos x}{x^3} $$

である。

ここで $0<x\le \dfrac{\pi}{2}$ では $x^3>0$ であるから、$f(x)$ がこの区間で増加関数となるための条件は

$$ x\sin x-2a+2\cos x \ge 0 $$

すなわち

$$ a\le \cos x+\frac{x}{2}\sin x $$

がすべての $x\in(0,\pi/2]$ で成り立つことである。

そこで

$$ g(x)=\cos x+\frac{x}{2}\sin x $$

とおく。

$a$ の最大値は、$g(x)$ の最小値に一致する。

次に $g(x)$ の増減を調べる。

$$ g'(x)=-\sin x+\frac{1}{2}\sin x+\frac{x}{2}\cos x =\frac{x\cos x-\sin x}{2} $$

ここで

$$ h(x)=\sin x-x\cos x $$

とおくと、

$$ h'(x)=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x $$

であり、$0<x\le \dfrac{\pi}{2}$ では $x\sin x>0$ だから $h'(x)>0$ である。また $h(0)=0$ であるから、

$$ h(x)>0 \qquad (0<x\le \pi/2) $$

となる。したがって

$$ \sin x-x\cos x>0 $$

すなわち

$$ x\cos x-\sin x<0 $$

であるから、

$$ g'(x)<0 \qquad (0<x\le \pi/2) $$

となる。よって $g(x)$ は $(0,\pi/2]$ で減少する。

したがって最小値は $x=\dfrac{\pi}{2}$ のときにとり、

$$ \min_{0<x\le \pi/2} g(x) =g\left(\frac{\pi}{2}\right) =\cos\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4} $$

よって求める $a$ の最大値は

$$ a=\frac{\pi}{4} $$

である。

解説

$f'(x)$ の分母 $x^3$ は区間内で常に正であるから、増加条件は分子の符号だけを見ればよい。

すると問題は、$a$ が

$$ a\le \cos x+\frac{x}{2}\sin x $$

をすべての $x$ で満たすようにすることに帰着する。したがって「右辺の最小値を求める問題」に変わる。この変形が本問の要点である。

また、$x\cos x-\sin x$ の符号判定を直接行いにくい場合は、$\sin x-x\cos x$ を置いて微分するのが典型手法である。

答え

$$ \frac{\pi}{4} $$