基礎問題集
数学3 微分法「グラフ・増減・極値」の問題15 解説
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解説
方針・初手
$$ f(x)=\frac{2^x-2x}{x-1}\qquad (0<x<1) $$
とおく。$a<b$ であるから、$f(x)$ が $(0,1)$ で増加か減少かを調べれば大小が決まる。
解法1
$f(x)$ を微分する。
$$ f'(x)=\frac{(2^x\log 2-2)(x-1)-(2^x-2x)}{(x-1)^2} $$
分子を整理すると、
$$ \begin{aligned} (2^x\log 2-2)(x-1)-(2^x-2x) &=2^x(x-1)\log 2-2x+2-2^x+2x \\ &=2+2^x\{(x-1)\log 2-1\} \end{aligned} $$
よって
$$ f'(x)=\frac{2+2^x\{(x-1)\log 2-1\}}{(x-1)^2} $$
となる。
ここで分子を
$$ N(x)=2+2^x\{(x-1)\log 2-1\} $$
とおくと、
$$ N'(x)=2^x(\log 2)^2(x-1) $$
である。$0<x<1$ より $x-1<0$ であり、また $2^x>0$ だから、
$$ N'(x)<0 $$
すなわち $N(x)$ は $(0,1)$ で単調減少である。
さらに $N(x)$ は $x=1$ でも定義できて、
$$ N(1)=2+2^1(0\cdot \log 2-1)=0 $$
となる。したがって $x<1$ では
$$ N(x)>N(1)=0 $$
である。
一方、$(x-1)^2>0$ であるから、
$$ f'(x)>0 \qquad (0<x<1) $$
が成り立つ。よって $f(x)$ は $(0,1)$ で単調増加である。
したがって $0<a<b<1$ より
$$ f(a)<f(b) $$
すなわち
$$ \frac{2^a-2a}{a-1}<\frac{2^b-2b}{b-1} $$
である。
解説
この問題は、与えられた式を $x$ の関数とみて単調性を調べるのが基本方針である。分母 $x-1$ が負になる区間なので、見た目だけで大小を判断すると危険である。
微分した後は、分子の符号判定が核心である。分子そのものをさらに一つの関数 $N(x)$ とみて調べると、単調減少で $x=1$ のとき $0$ になることから、$0<x<1$ では正であると分かる。このように「微分した後の分子をさらに調べる」という処理は典型である。
答え
$$ \frac{2^a-2a}{a-1}<\frac{2^b-2b}{b-1} $$
である。